整理的一些二倍法的公式

awei

怕以后忘了，记在这里了，像傅里叶变换，但又不像，实在郁闷 ，
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty } \ 2^{(-1)^n\left\lfloor n/2\right\rfloor }×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{(-1)^{n+1}\left\lfloor n/2\right\rfloor } \pi a\right)\right]}{2}=a\]

\(\{x,f (x)\}\in \mathbb{R}\)，不是就有
\[\sum _{n=1}^{\infty } \ 2^{(-1)^n\left\lfloor n/2\right\rfloor }×\frac{\text{sgn}[f(x)]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{(-1)^{n+1} \left\lfloor n/2\right\rfloor } \pi  f(x)\right)\right]}{2}=f(x)\]
能干嘛用呢？
最有意思么过于这个公式了
【最帅气的东东】
\[\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\right)\right]}{2}=\frac{1}{\pi}\]
【正整数倒数】
\[a\&m>1;\{a,m\}\in \mathbb{N^*}\]
\[\sum _{n={0}}^{\infty } \ a^{-n-1}×\lfloor\frac{\text{mod}(a^{n},m)a}{m}\rfloor=\frac{1}{m}\]
【正实数a取小数部分】
\[0 < a,\sum _{n={1}}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n } \pi a\right)\right]}{2}=\{a\}\]
【正实数a取整数部分】
\[0 < a,\sum _{n={0}}^{\infty } \ 2^{n}×\frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{-n } \pi a\right)\right]}{2}=\lfloor a\rfloor\]
【扩展到整个实数】
\[a\in \mathbb{R},\sum _{n=-{\infty }}^{\infty } \ 2^{-n}×\frac{\text{sgn}[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^{n } \pi a\right)\right]}{2}=a\]
\[\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\cos \left(2^n\right)\right]}{2}=\sum _{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\frac{sin(2^{n})}{sin(2^{n+1})}\right]}{2}\]

awei

所有实数都可以写成二进制，二进制的数位上不是0就是1，刚好对应三角函数正弦值的正负变化，任何一个实数都可以用一系列的正弦正负变化来描述，反之一系列的正弦值的正负变化也可以描述一个实数,当然有人会认为sin（nπ）=0即不是正数也不是负数，只要把角度（不含起点）在半闭半开区间(2nπ，（2n+1)π]的正弦值看做变换0，把角度(含起点),在半闭半开区间((2n+1)π，(2n)π]看做变换1即可，因此sin(0)和sin(π)虽然值相等，但是其对应变化的0和1却不一样

awei

研究数学过程中，只有两种变化的数列很多很多，如连续自然数中的奇偶变化，质合变化（1除外），是否为平方数等等等等，都可以用一个二进制的实数来描述，然而这个二进制实数背后所蕴藏的真正奥秘是什么，耐人寻味！每一种进制的数，它数位上的数的变化，如同波幅相同，频率不同，相位角不同的波形，叠加在一起令人难以琢磨。想从前人寻找一些线索，傅里叶变化最为相似，都分析的是周期性变化，可他是怎么拆怎么又合的呢？数学已经离数越来越远了，却还在讲着数的故事

awei

把每一个实数看做二进制，那么就容易理解了

ccmmjj

很有意思。是自己搞的吗？可以写一个专题了。

awei

ccmmjj 发表于 2021-3-11 21:27
很有意思。是自己搞的吗？可以写一个专题了。

自己瞎搞得的，觉得好玩