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已知 x>0 ,y>0 ,且 1/x+9/y=1 ,求 x+y 的最小值

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发表于 2021-4-21 05:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
请教一个多年来一直搞不懂的基本不等式.

如图, 条件下, 能否推出 x*y大等于36? 那么利用递推性, 推出答案为12, 为什么不行?
求大神解惑其原理. 老感觉背后隐藏着什么.

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发表于 2021-4-21 06:03 | 显示全部楼层
2个数的和=1,总有1个数≥平均数
\(1,若是\frac{1}{x}≥\frac{1}{2},即x=2\)
\(2,若是\frac{9}{y}≥\frac{1}{2},即y=10,11,12,13,14,15,16,17,18\)
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发表于 2021-4-21 08:36 | 显示全部楼层


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发表于 2021-4-21 09:35 | 显示全部楼层
也可以用函数方法求。

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发表于 2021-4-21 09:37 | 显示全部楼层

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发表于 2021-4-21 19:25 | 显示全部楼层
楼上 liangchuxu天山草@ 的解答也很好!已收藏。
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发表于 2021-4-21 22:39 | 显示全部楼层
题:已知x、y∈R+,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值。

思路:由1/x+9/y=1有,x+y=(x+y)(1/x+9/y)=y/x+9x/y+10≥2√[(y/x).(9x/y)]+10

=6+10=16(当且仅当y/x=9x/y,即x=4、y=12时等号成立),即x+y≥16。
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发表于 2021-4-21 23:03 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答也很好!已收藏。
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发表于 2021-4-22 06:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-4-22 06:37 编辑
波斯猫猫 发表于 2021-4-21 22:39
题:已知x、y∈R+,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值。

思路:由1/x+9/y=1有,x+y=(x+y)(1/x+9/y)=y/x+9x ...


还是回到我们熟悉的 "1" 上来。

\(已知\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,求\ \frac{1}{\sin^2\theta}+\frac{9}{\cos^2\theta}\ 最小值。\)

点评

这还是有点麻烦的。  发表于 2021-4-22 10:19
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发表于 2021-4-22 10:17 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-4-22 06:30
还是回到我们熟悉的 "1" 上来。

\(已知\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,求\ \frac{1}{\sin^2\theta}+ ...

很对! 1 是个好东西。另外,如果把题目改为:

已知 x>0 ,y>0 ,且 x+y=1, 求  1/x+9/y 的最小值。

则结果不变。
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