在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

lihp2020

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从 1~500 之间 任意取 5个不同的整数，使得这5个整数之和 能被5整除  
问有多少组合方案？

lihp2020

具体的值  我感觉可能 算不出来  但是  主要是思路

王守恩

lihp2020 发表于 2021-7-26 18:55
具体的值  我感觉可能 算不出来  但是  主要是思路

先从简单算起。
1~5=1
1~6=2
1~7=5
1~8=11
1~9=22

天山草

从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

当  n = 5、6、7、........、19、20  时的方案数如下：

a[5] = 1
a[6] = 2
a[7] = 5
a[8] = 12
a[9] = 26
a[10] = 52
a[11] = 94
a[12] = 160
a[13] = 259
a[14] = 402
a[15] = 603
a[16] = 876
a[17] = 1240
a[18] = 1716
a[19] = 2328
a[20] = 3104

能不能从以上数据中找到一个通项公式呢？王守恩是寻求通项公式的行家。

lihp2020

1  当N趋近无穷是 结果 差不多是C(n,5)/5
所以猜测 通项公式 是 \(A_n=1/5n^5+an^4+bn^3+cn^2+dn^1+e\)

如果这个是对的 那么可以 考虑 用差分序列 求出abcde  但是 求出前5~20项 的结果 差分序列 就找不到恒为0的

其中标红的 感觉 都是1234之类的
但是结果越来越靠近 我猜测 有个 取整的逻辑

王守恩

天山草 发表于 2021-7-27 11:51
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

当  n = 5、6、7 ...

谢谢鼓励！卡住了，试试下面的题目(我只会手工，数目大了手工不行)。
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 3 个相加，其和恰好是 3 的倍数，有多少种取法？

当  n = 3,4,5,6,7........、19、20  时的方案数

lihp2020

先上一张图片 这个是个提示   
可以观察得到一个结果\(C(n,5) -4*(\left\lceil(C(n,5)/5)\right\rceil-1)\)  
其中\(\left\lceil***\right\rceil\)  表示 对***向上取整  
\(\left\lceil1.5\right\rceil =2 \left\lceil2\right\rceil =2\)

小fisher

1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组合方式有下列7种：
1）｛00000｝，方案数=COMBIN(100,5)=75287520
2）｛00014｝，方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
3）｛00023｝，方案数=COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,1)=1617000000
4）｛00113｝，方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)=2450250000
5）｛00122｝，方案数=COMBIN(100,2)*COMBIN(100,1)*COMBIN(100,2)=2450250000
6）｛01112｝，方案数=COMBIN(100,1)*COMBIN(100,3)*COMBIN(100,1)=1617000000
7）｛11111｝，方案数=COMBIN(100,5)=75287520
方案总数为9,902,075,040个

小fisher

小fisher 发表于 2021-7-27 16:08
1-500除以5后余数为0、1、2、3、4的数字个数各为100个，根据余数不同，从1-500中取5个数之和能被5整除的组 ...

忘记考虑余数之和为10、15、20的情况了，汗！

小fisher

这次应该全了