求积分 ∫(0,+∞)∑(n=0,∞)(-1)^n x^(2n)／n! dx

永远

Future_maths

先求和，再积分，反过来就错了。

永远

Future_maths 发表于 2021-10-17 19:42
先求和，再积分，反过来就错了。

我要的目的是级数展开来求解，

yichang

积分 \(\displaystyle\int\) 和求和 \(\displaystyle\sum\) 不可交换，因为 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\) 不满足控制收敛定理的条件

永远

yichang 发表于 2021-10-17 19:48
积分 \(\displaystyle\int\) 和求和 \(\displaystyle\sum\) 不可交换，因为 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\in ...

谢谢，哪就逐项积分？

yichang

\[
\int_0^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\right)\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x
= \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\]

永远

yichang 发表于 2021-10-17 19:53
\[
\int_0^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\right)\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty ...

你好，我要的是级数展开后求解，你把它又还原了，这不是我想要的

我想要求的是这个

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{{( - 1)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{n!(2n + 1)}}} \]

yichang

\[
\lim_{x\to\infty}\left[\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2+n1)}\right]
=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)\right]
=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\]
其中erf是误差函数

永远

yichang 发表于 2021-10-17 22:49
\[
\lim_{x\to\infty}\left[\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2+n1)}\right]
=\lim_{x\to\inf ...

请问这一步过程，一步到位，没过程

永远

求助于陆老师，老师晚上好