已知 x^2+xy+y^2=1 ，用两种不同的方法求 x^2-xy+y^2 的取值范围

中国上海市 · 发表于 2022-1-26 18:40

已知x^2+xy+y^2=1，用不同的方法求x^2－xy+y^2的取值范围

渣k · 发表于 2022-1-26 21:32

坐等大佬回复

luyuanhong · 发表于 2022-1-26 21:46

中国上海市 · 发表于 2022-1-27 09:57

谢谢陆教授的解答大家看看还有其他的解法吗

中国上海市 · 发表于 2022-1-27 10:08

本帖最后由中国上海市于 2022-1-27 07:30 编辑

令x+y=2a，x-y=2b，则x=a+b，y=a-b，则由条件可以3a^2+b^2=1，则(a,b)是一个椭圆，从而易知a∈[-√3/3，√3/3]，b∈[-1，1]，x^2－xy+y^2=a^2+3b^2=a^2+3(1-3a^2)=-8a^2+3，则当a=0时，max=3，当a=±√3/3时，min=1/3

波斯猫猫 · 发表于 2022-1-27 13:29

提示：由x^2+xy+y^2=1与x^2－xy+y^2=k有，2xy=1-k，且x^2+y^2=（k+1）/2，

故，（x+y）^2=（3-k）/2，且（x-y）^2=（3k-1）/2，或k∈[1/3，3]。

luyuanhong · 发表于 2022-1-27 15:07

楼上波斯猫猫的解答很好！已收藏。

渣k · 发表于 2022-1-27 15:58

\(\left( x+y\right)^2＝x^2+2xy+y^2＝1+xy\ge0，\left( x-y\right)^2＝1-3xy\ge0\ \) 联立可得：\(-1\le xy\le\frac{1}{3}\ x^2-xy+y^2＝1-2xy\ \ -\frac{1}{3}\le1-2xy\le3\)

		自动登录	找回密码
密码			注册

已知 x^2+xy+y^2=1 ，用两种不同的方法求 x^2-xy+y^2 的取值范围

本帖子中包含更多资源

点评