书接上回。正如这篇文章的前半部分讲述的那样,乔治·加布里埃尔·斯托克斯(George Gabriel Stokes)提出了一种近似艾里函数的有效方法,这有助于理解彩虹的附属虹。然而,尽管斯托克斯已经解决了实际问题,但他并不满意。他对艾里函数的近似是渐近的,这意味着它只适用于变量 x 取足够大正值或足够小负值的情况。在 x=0 处这一近似会发散到无穷大。
在斯托克斯首次发表艾里函数近似方法的几年以后,他发现了这个问题的一部分答案。这里的数学十分复杂,所以我们只给出梗概。从本质上讲,斯托克斯在处理一个关于复变量 z 的函数的渐近近似,其中包含两个指数项,每一项都乘以一个系数和一个发散级数。换句话说,他在处理一个看起来像这样的东西:
如果这两个系数是收敛的,那么对于复平面内所有的 z ,系数 A 和 B 可以相等。这意味着,只要 A 和 B 都不为0,这个近似就永远有两个指数项。但当级数发散的时候,就有更多的可能性。斯托克斯意识到,在这种情况下,系数的数值可以发生跃变。具体而言,一个系数可以在平面的一侧等于零,这意味着此处整个渐近近似只包含一个指数项;在平面的另一部分,系数不再等于零,这一区域内渐近近似是两个指数项的和——这正是艾里函数的行为。
渐近近似中系数的值发生跃变的行为被称为斯托克斯现象( Stokes' phenomenon)。
(事实上,斯托克斯发现这里的系数不仅是“可以发生”跃变,而是“必须”跃变。渐近近似必须严格满足的一个条件是,如果从正实轴的 z 值开始,沿一个完整环路绕零点一圈再回到 z ,那么得到的近似值也应该与最开始的值相等。斯托克斯注意到实现这一点的唯一方法是系数发生跃变。这是因为近似表达式中含有复变量的平方根,而这个平方根是多值的。)