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浅评牛顿《原理》第一编第五章

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发表于 2022-5-6 21:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
浅评牛顿《原理》第一编第五章

作者 | 刘瑞祥

来源 | 遇见数学




牛顿的《原理》体系宏大,内容精深,是人类历史上的不朽之作。本文仅对第一编第五章略作点评。

这一章主要处理的是圆锥曲线作图问题,即如何做出符合条件的圆锥曲线上的点。全章包括 11 个引理和 8 个命题。这里牛顿主要用到的数学方法包括:从古希腊的阿波罗尼奥斯流传下来的圆锥曲线论,以及从几何原本流传下来的比例论、相似三角形理论。牛顿以娴熟的数学技巧,特别是善于利用反证法和辅助线,将很不容易证明的问题进行转化,达到目的。我们可以看到,几乎这里面的所有引理和命题,牛顿都用到了辅助线,特别是通过做平行线构造出相似三角形,由此产生需要的比例。牛顿还在引理 18、引理 20 等处用到了反证法。另外要指出的是,有的地方牛顿还用到了分类讨论的方式,先证明一种比较容易的情况,再将复杂或一般的情况转化成前者。



在这里我特别要说的是,会做题和会出题是不一样的,会出题和会科研是不一样的,会科研和会构造一个科学体系是不一样的。一个所谓的“学霸”,无非是会做题而已,距离会科研还有很长的路,更何况还要构造属于自己的体系。牛顿的《原理》全书,自然是宏伟壮观的科学体系,属于常人难望项背者,但是我们可以通过本章的学习,感悟一个小小体系的建立,鼎尝一脔,亦属快事。



通过阅读牛顿这一章的命题,我们还可以体会到科学进步的力量。不管我们怎样称赞牛顿的成就,都不得不承认,以现代的观点看,牛顿的方法是比较繁琐了。以笔者对数学史的粗浅了解来说,我估计在牛顿的时代,解析几何还没有发展到比较成熟的地步,另外显然的,射影几何也是刚刚萌芽。所以牛顿不得不使用相对简陋得多的工具解决问题。今天的我们,是不必如此费劲了。但是另外一方面,今天我们在学校里往往是分别处理不同的圆锥曲线,而且没有接触过斜坐标系,这极大限制了学生的视野。而通径、极点等名词的缺失,以及诸如“相似且相等”等名词的变化,更增大了笔者阅读这一章的难度。

以上是笔者对这一章内容的体会,愿得到广大读者的指正。

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