[原创] 笛卡尔数学学术研究

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笛卡尔方程：
r=(C*k + D*cos(a) - sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1);  a；
取参数C = 2.541944358078422,D = 1.34011878852098,k = 1.541944358078422;
方程图像为：

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极坐标曲线簇

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极光

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激光

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             己（ji）欲达而达人 己欲立而立人 己所不欲 勿施于人

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笛卡尔曲线极坐标式：
r1+kr2=C （焦距D）（据曲线定义可知：C，D，k属于实数域，C,D>0）
极坐标式：
(k^2 - 1)*r^2 - r*(2*D*cos(a) + 2*C*k) + C^2 - D^2 = 0（原点在右焦点）
两个解：
r=(C*k + D*cos(a)  +  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，
a;（k>0,图像为笛卡尔蛤形）（k<0,图像为笛卡尔卵形）
r=(C*k + D*cos(a)  -  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，
a;（k>0图像为笛卡尔卵形）（k<0,图像为笛卡尔蛤形）

前面推导的极坐标方程为笛卡尔方程的唯一图形公式 （因k不限定，包含和差两个公式）
但方程解存在：k不等于+-1；可补充一下：k^2=1（即笛卡尔方程包含圆锥曲线）
r = （C^2 - D^2）/(2*D*cos(a) + 2*C*k)  为圆锥曲线方程。

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两个解：
r=(C*k + D*cos(a)  +  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （k>0,图像为笛卡尔蛤形）



笛卡尔蛤形线为双曲线圆化

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两个解：
r=(C*k + D*cos(a)  -  sqrt(2*D*cos(a)*C*k + D^2*cos(a)^2 + D^2*k^2 + C^2 - D^2))/(k^2 - 1)，a  （k>0图像为笛卡尔卵形）



笛卡尔卵形线为椭圆曲率一端圆化

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这样一来， 笛卡尔方程的解已经全部解出, 并清楚知道方程解对应曲线分类...........

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帕斯卡蜗线方程与笛卡尔方程差异在于为y的偶四次曲线（y^4,y^2)，缺常数项的二元四次曲线，

相似的四次曲线还有四叶玫瑰等等曲线，都见于大学教科书，读者可以自行翻阅。