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解方程 a^(2x)+(ab)^x=b^(2x) (0 < a < b)

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发表于 2022-6-27 11:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:设\(0< a < b,\) 解方程 \(a^{2x}+(ab)^x = b^{2x}.\)
发表于 2022-6-27 13:27 | 显示全部楼层
(a/b)^x=(√5-1)/2.
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发表于 2022-6-27 15:58 | 显示全部楼层


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牛&#128046;牛&#128046;!  发表于 2022-6-28 03:21
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发表于 2022-6-27 19:16 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2022-6-27 20:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2022-6-27 17:41 编辑

谢谢各位的解,特别是陆老师的详解!可见
\(9^x+21^x=49^x\)  的解是 \(x=\small\dfrac{\ln(\sqrt{5}+1)-\ln 2}{\ln 7-\ln 3},\)
而方程 \(2^x+6^{\frac{x}{2}}=3^x\) 的解是 \(x=\small 2\dfrac{\ln(\sqrt{5}+1)-\ln 2}{\ln 3-\ln 2}\)
等等.

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发表于 2022-6-27 22:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2022-6-27 22:37 编辑

解方程 a^(2x)+(ab)^x=b^(2x) (0 < a < b).

解 a^(2x)+(ab)^x=b^(2x),即(a^x)^2+b^xa^x-b^(2x)=0.

∴ 2a^x=-b^x±√5b^x,即(a/b)^x=(√5-1)/2  (a^x>0).

∴ x=[lg(√5-1)-lg2]/(lga-lgb).
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 楼主| 发表于 2022-6-28 08:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2022-6-29 11:58 编辑

解: 原方程等价于 \(t^2+t=1,\; t=(a/b)^x>0.\) 解这个\(t\) 的二次方程即得
\(x=\small\dfrac{\ln t}{\ln(a/b)}=\dfrac{\ln(\sqrt{5}-1)-\ln 2}{\ln a-\ln b}=\dfrac{\ln(\sqrt{5}+1)-\ln 2}{\ln b-\ln a}\)
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