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本帖最后由 昶勣之光 于 2022-9-24 23:57 编辑
0/0的意义是什么？
众所周知，0作为除数是没有意义的，因为0乘以任何一个复数都为0，即除了0以外，任意一个复数集中的数字都不能由0乘以一个复数集中的数字得来。可以表示为：\(\forall a{,}b\in C{,}b\ne0\Rightarrow a\times0\ne b\)
我相信大自然不可能无故创造出一个针对于某个数字的禁区，即便是0，也该有被加在分母上的权利。如果我们硬要将0作为除数，会出现什么情况？对于这个问题，我愿阐述自己的观点。首先，从0/0开始。
设a=0/0，由除法的定义出发，则有：0a=0（这一步其实有一点问题，但现在这样写也没有太大的影响，看到后面你就明白了）。如此看来，a似乎可以为任意复数。那么a该如何表示呢？难道要写一串\(a=x{,}x\in C\)吗？为了方便表示，在此，不妨用一个“集合”A直接表示a，而非用A表示所有可能出现的a的集合。对于这种“集合”，我们不叫它解集，而取个名字叫多重解。
多重解的概念
至于为什么一定要将A与一般的解集区分开，原因在于元素与集合具有等级性——即元素与集合不是一个级别的。比如说，对于元素1与集合｛1｝，两者是所属关系而非同级、相等的关系。这个特点不利于我们表示解。举个例子，对于|x|=1这个方程，其解为x=1或-1。如果我们用集合来表示其解，岂不是该表示为x={1,-1}了吗？"x"是元素，"{1,-1}"是集合，两者间不该划等号，而是用属于符号。可一旦使用属于符号，那么"{1,-1}"便不再表示解了，而是解集。显然，这同我们想方便表示解的初衷相悖。于是，才诞生出“多重解”这个概念。对于这个所谓的多重解，我们采用集合的形式对其进行表式，但它却跟一般的数字是同一个级别的。于是，对于|x|=1这个方程的解，便可以直接用多重解x={1,-1}来表示了。特别的，当只有一个解时，多重解的大括号要去掉，直接用那个数字进行表示解；当多重解的“元素”中出现集合时，需将集合中的元素“释放”，让它们成为多重解的新“元素”，同时去掉该集合。
还有一个问题：在对多重解赋值时需如何做呢？
譬如|x|>-1的解，同样能用多重解表示。这个多重解需包含所有的实数。而之前我们规定了多重解与元素是同级别的，因此，其解是否也不能与实数集R打等号呢？出于此考虑，我们不妨将多重解看作一种用法特殊的解集，但不叫它解集。这样一来，问题算是解决了——该不等式的多重解为X，其中，X的大小为实数集R。
或许有人没法接受多重解的这种设定，但这都是为了便于我们接下来的论证。（如果实在接受不了，就去想想隔壁物理学的那堆事吧，可以将多重解理解为一个特殊的元素——一个处于“叠加态”的元素）
好了，有了多重解的概念，我们直接用多重解A代表0/0。至于A是否与复数集C相等，我们稍后再做推论。现在我们需要理解一下“属于式”的概念。
集合与元素之间的“属于式”
把\(a\in A\)称作属于式。当属于式两边的元素与集合同时乘以或除以一个不为零的数，或者加上或减去一个数，属于式仍然成立。（其中，一个集合加上、乘上、减去、除以一个数，即是将该集合中每一个元素与该数进行相应的操作。该命题很容易证明，这里就不过多赘述了。）。比如：\(3\in\lbrace1，2，3，4，5\rbrace\Rightarrow6\in\lbrace2，4，6，8，10\rbrace\)
有人可能会发现这样一件事：0=\(0^2\Rightarrow\ \frac{0}{0}=\ \ 0^{ }\times\frac{0}{0}\Rightarrow A=0A=0\)。这不就有问题了吗？除非，\(0^2\ne0\)。但是，这会吗？暂时将问题放在这里，我们继续看看在x不为0的情况下x/0是多少吧。
x/0
相信不少人都知道，这里的x/0的值，其实是∞。然而，1/0=∞，2/0=∞，3/0=∞……那么反推过来，0∞是多少呢？不由地，你或许想起了0/0，也就是多重解A。我们试着推一下：如果0∞=A，那么左式=∞0/0=∞A=∞=右式=A/0，即∞=A/0。因此，我们可以得出结论：\(\frac{x}{0}\in∞=\frac{A}{0}\)。同理，我们也可以得出：\(\frac{x}{∞}\in\frac{A}{∞}=0\)
下面，我们开始解决\(0\ne0^2\)的问题。
\(0\ne0^2\)？
看一组式子：
\(0∞=A\)
\(0\times0∞=0A=0\)
两式联立，显然，\(0^2\ne0\)。但这个推论有个缺陷，那就是我们还没有证明A中不含有∞。因为如果\(∞\in A\Rightarrow0A=\lbrace0，0∞\rbrace=\lbrace0，A\rbrace=A\)，于是 \(0^2∞=0A=A=0∞\)。那么A中到底有没有∞这个元素呢？不用急，我们来证明一下：
\(0^1=0^{0+1}=A\times0^1\Rightarrow0A=0\)
看到这里，一切都明了了——即：∞不属于A，同理，还可以证明0也不属于A。因此，A是一个不包含0与∞的复数集。
现在，你一定很迷惘，因为根据上述方法，你可以轻易推出 \(0^m\ne0^n\)(其中，m与n均为正实数或均为负实数，且不相等)
。为什么会这样？这似乎与平时我们的感觉不大一样！0的二次方竟然不等于0的一次方！为什么？究竟是哪里出错了？
仔细想想看，我们从上一路推下来，靠的是什么？——靠的不就是0的性质吗？即：0加任何复数等于该复数；0乘以任何复数等于0。所以会不会有一种可能：那就是还存在一类奇特的、尚未被发现的数字，它们与0的性质十分相似。而在上面我们所用的0，其实并不是所谓的“0”，而是这一类奇特的类0数字！
此“0”非彼“0”
如果我们的猜想正确，那么我愿在此称这种“0”为“源0”，记作[0];同理，以上的“∞”称作“源无穷”，记作“[∞]”。为什么叫它“源0”，因为它是数字的起源。
先总结一下上文得出的关于[0]的性质：
1. \(\forall a\in R{,}b\in C{,}a\ne0，b\ne0\ \Rightarrow[0^a]\times b=[0^a]\)
2. \(\forall a\in R^+{,}\ b\in C{,}a\ne0{,}b\ne0\Rightarrow[0^a]+b=b{,}[0^{-a}]+b=[0^{-a}]\)
3. \([0^0]=\lbrace a\mid a\in C{,}a\ne0\rbrace\)
(以上C均为复数集，R均为实数集)
在这里顺便提一下，\([0^0]=A\ ，[0^a]=\frac{A}{[0^{-a}]}\)（其中，a为非0实数)。怎么证明，很简单，只要记得[∞]=A/[0]就行了。
我们把多重解应用进来，直接将性质二写作：\([0^{R^+}]+A=A\)（这里，包括之后提到的所有A都代表多重解[0]/[0]）,于是可以得出：
\(A-A=[0^{R^+}]\)。这里的A-A其实正是指两个相同的非0复数的差，即我们平时所谓的真正意义上的“0”，它等于\([0^{R^+}]\)，也就是所有正次方的源0的集合——终于，真相了：0其实是一个多重解，一个包含了所有正次源0的多重解！同样的方法，我们还可以知道，我们平时所谓的∞，其实是包含了所有负次源0(或者说是正次源无穷)的多重解！特别地，对于包含所有非0实数次方的源0的多重解，即0与∞的并集，我们暂时将它称作B，0就记作\(B^+\)，∞记作\(B^-\)。于是，我们知道的所有数字，就包含进了A与B的并集，即所有次方的源0组成的集合里。甚至于这个“超集合”比复数集C还大，因为它还包含了∞！
画一个复平面，0次源0（也就是A）代表的是去心平面（去掉的“心”指的是0这个点），而所有的正次源0都挤在了0这个点上，好像“坍缩”了一般；对于负次源0，我们在复平面内是找不到的，因为它们是∞——各个方向上的∞！很有趣，不是吗？
再提一件同样有趣的事情 ：\(\forall a\in R{,}b\in R^+\Rightarrow[0^a]+[0^{a+b}]=[0^a]\times\left( A+[0^b]\right)=[0^a]\times A=[0^a]\)。从这里我们可以发现，高次源0加低次源0等于那个低次源0，我们把这种特性称为[0]的低并性。可以理解为，低次方的源0似乎比高次方的源0要更“高级”一些。所以在复平面内，0次源0是一个去心平面，比它“低级”的正次源0只能在复平面内坍缩成一个点，而比它“高级”的负次源0却根本无法“降临”在复平面内。这很奇妙！
总结
在这里，我就0/0引发了许多思考，也提出了许多自己看法，同时算的上是填补了数学体系中关于分母0的空白，以及对0与∞的意义的新发掘。另外，就A与B这两个多重解，总叫它“A”或者“B”也不大合适，我在此想给其命个名——A叫“星”，B叫“玮”。感谢大家的阅读。
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发表于 2022-9-17 19:53
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