【答】证明：sin(π／5)／sin(2π／5)=(√5-1)／2

dodonaomikiki

2022,南开数学选拔提

                  

时空伴随者

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的解答很好！已收藏。

dodonaomikiki

能否从     \(      \pi    =5     \bullet    \frac{ \pi      }{   5}          \)这个角度考虑？



    \(       Because     \)
    \(        \frac{    sin \frac{ \pi      }{   5}   }{    2sin \frac{ \pi      }{   5}   \bullet      cos\frac{ \pi      }{   5}    }
=\frac{  1   }{2  cos\frac{ \pi      }{   5}   }          \)

dodonaomikiki

   \(      36^O          \)转化成    \(        180^O         \)  或者其他角度，
行不行？
从这个角度考虑

luyuanhong

dodonaomikiki

四次方程构成一个牙龈状
所取得的一个根，是最大的！
感性的看一哈

meishuqiu

化简三角函数公式，相信亦可证，对吧

时空伴随者

利用倍角和三倍角公式也可。
第一步、化简
左边=\(\frac{sin\frac\pi{5}}{sin\frac{2\pi}{5}}=\frac{1}{2cos\frac\pi{5}} \)
或 左边=\(\frac{sin\frac\pi{5}}{sin\frac{2\pi}{5}}=\frac{sin\frac\pi{5}}{cos(\frac\pi2-\frac{2\pi}{5})}\)
\(=\frac{sin\frac\pi{5}}{cos\frac{\pi}{10}}=2sin\frac{\pi}{10} \)
第二步、求\(cos\frac\pi{5}，或 sin\frac\pi{10}\)
令\(\frac\pi5=\alpha，\frac\pi{10}=\beta\)
由\(sin2\alpha=sin3\alpha\)
得\(2sin\alpha cos\alpha=3sin\alpha -4sin^3\alpha\)
消去\(sin\alpha\)因为\(sin\alpha\)不为0，
得\(2 cos\alpha=3 -4(1-cos^2\alpha )\)
解得\(cos\alpha=\frac{1\pm\sqrt5}4)\) 负值舍去。
同理由\(sin2\beta=cos3\beta\)
得\(2sin\beta cos\beta=4cos^3\beta-3cos\beta\)
消去\(cos\beta\)因为\(cos\beta\)不为0，
得\(2 sin\beta=4(1-sin^2\beta)-3\)
解得\(sin\beta=\frac{-1\pm\sqrt5}4)\) 负值舍去。
第三步、两种解法大同小异，随便选一种代入左边，命题得证。

luyuanhong

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