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连接四边形各边的三等分点,将四边形分为九份,求证:中间一份面积是四边形的九分之一

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发表于 2022-9-30 12:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
如图,沿面积为一的四边形各边三等分点分割四边形为九份,求证阴影那一份正好是九分之一。

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发表于 2022-9-30 13:40 | 显示全部楼层
一般地,四边2n+1等分,中心四边形的面积是整个四边形面积的1/(2n+1)^2
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 楼主| 发表于 2022-10-2 07:53 | 显示全部楼层
kanyikan 发表于 2022-9-30 13:40
一般地,四边2n+1等分,中心四边形的面积是整个四边形面积的1/(2n+1)^2

有好看的证明吗?

点评

《平面几何中的小花》一书中的51题。  发表于 2022-10-2 10:57
用两个引理: 1、中间一条的面积是四边形面积的1/(2n+1) 2、中间一条的两边也被等分 第2个找不到如何证的了。  发表于 2022-10-2 10:52
仿射法算不算?  发表于 2022-10-2 08:27
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 楼主| 发表于 2022-10-2 08:47 | 显示全部楼层
@ uk702 试试吧。

点评

!!! 这里的方法(我的方法)应该是错的,撤回 !!!  发表于 2022-10-3 19:27
严谨而简单的方法应该可以改为向量点积的语言吧。  发表于 2022-10-2 09:04
是有一点问题。但总可以将一个任意四边形仿射变换成无限接近正方形(由于平行是仿射不变性,故非平行四边形实际上无法仿射为正方形)。 而问题对正方形的显然的。  发表于 2022-10-2 08:54
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发表于 2022-10-2 12:24 | 显示全部楼层


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发表于 2022-10-5 19:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2022-10-5 23:26 编辑


证明:
1 当两对边都分别平行时显然成立.
2 当仅仅一对边平行时也成立:
a/b/c/d=h/(h+n)/(h+2n)/(h+3n)
则(a+b)/(b+c)/(c+d)=(h+h+n)/(h+n+h+2n)/(h+2n+h+3n)
则(b+c)/(a+b+c+d)=(h+n+h+2n)/(h+h+n+h+2n+h+3n)
=(2h+3n)/(4h+6n)=1/2,余略.
3 当两对边都分别不平行时(缺乏)

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发表于 2022-10-5 20:49 | 显示全部楼层

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发表于 2022-10-6 18:56 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2022-10-8 01:07 | 显示全部楼层

嗯嗯,谢谢,证得很好。
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发表于 2022-10-9 11:51 | 显示全部楼层
如图,四边形ABCD面积为1,E、F、G、H分别是AB、CD的三等分点,那么四边形EFGH面积等于1/3。

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