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\(\large\textbf{从现代数学基础看自然数集的构造及其代数性质.}\)

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发表于 2023-2-4 03:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2023-2-5 13:01 编辑

定义 称满足 \((\varnothing\in U)\wedge(\forall v\in U\,(v\cup\{v\}\in U))\)的集合\(U\)为归纳集.

无穷公理 \(\exists U((\varnothing\in U)\wedge(\forall v\in U\,(v\cup\{v\}\in U)))\)
\(\qquad\) 即归纳集存在. 易见归纳集是实无穷集, 无穷集的存在性皆基于此公理.

定义令 \(\mathbb{N}=\bigcap\{U\mid U\text{是归纳集}\}\) 称\(\mathbb{N}\)为自然数集,其元素为自然数。
\(\qquad\;\) 记 \(0:=\varnothing,\; 1:=s(0).\) 自然数集因此是最小的归纳集.

定义 用 \(s(v)=\cup\{v\}\) 定义后继映射\(s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)

与现行数学对应的 Peano (自然数)公理:
1) \(0\in\mathbb{N}.\)
2) \(\forall x\in\mathbb{N}, s(x)\in\mathbb{N}.\)
3) \(x=y\iff s(x)=s(y).\)                (后继函数是单射)
4) \(\lnot(\exists x(s(x)=0))\)                        (\(0\)不是任何自然数的后继)
5) \(\forall K\subseteq\mathbb{N}\,((0\in K)\wedge((x\in K)\implies(s(x)\in K))\implies (K=\mathbb{N}))\)
\(\quad\) 公设 5 其实就是数学归纳法原理. 易见 peano 公理与
\(\quad\) (无穷公理+自然数集定义+后继映射定义) 逻辑等价.

引理 1. \(\forall n\in\mathbb{N}\,((0\ne m)\implies \exists m\in\mathbb{N}\,(n=s(m))).\)
证明: 令\(K=\{n\in\mathbb{N}: (n=0)\vee \exists m\in\mathbb{N}\,(n=s(m))\}\), 则\(\,0\in K\)
\(\qquad\) 且若 \(n\in K\), 则由\(K\)的定义, \(s(n) \mathbb{N}\). 据归纳法原理, \(K=\mathbb{N}.\;\;\square\)

自然数的算术.
定义
\(\quad\)加法:对\(\,m\in\mathbb{N}\) 定义 \(m+0 = m,\,m+s(n) = s(m+n)\).
\(\quad\)乘法:对\(\,m\in\mathbb{N}\) 定义 \(m\times 0 = 0,\,m\times s(n) =m+ (m\times n)\).

利用引理 1 及归纳法原理容易验证上述定义的完全性。无异议性.

A1 加法结合律 \(\forall\,x,y,z\in\mathbb{N}\,(x+(y+z)=(x+y)+z).\)

证:令\(\,K=\{z\in\mathbb{N}:\;\forall x,y\in\mathbb{N}\,(x+(y+z)=(x+y)+z)\}\)
\(\because\quad x+(y+0) = x+y = (x+y)+0,\; 0\in K.\) 若 \(z\in K\), 则有
\(x+(y+s(z)){\small = x+s(y+z) = s(x+(y+z))=s((x+y)+z)=}(x+y)+s(z)\)
\(\qquad\)即 \(s(z)\in K.\) 据归纳法原理,\(K=\mathbb{N}\) 从而加法结合律得证.
发表于 2023-2-4 16:13 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2023-2-4 17:15 | 显示全部楼层
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