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x^a+y^b=z^c 的正整数解

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发表于 2023-2-12 17:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
\(x^a+y^b=z^c 的正整数解\)

x,y,z=1,2,3,4,5,6,7,8,9,......(特别提示: “1”可以,“0”不可以)。

第 1 类:  a,b,c 3个指数相同=费尔马数。
3,3,3,
4,4,4,
5,5,5,
6,6,6,
7,7,7,
8,8,8,
9,9,9,
......

第 2 类:  a,b,c 3个指数有2个相同=费尔马数。

2个不同指数, 最大=4
第1对:4+4=2, 2+4=4

2个不同指数, 最大=6,
第1对:6+6=2, 2+6=6
第2对:6+6=3, 3+6=6
第3对:6+6=4, 4+6=6,

2个不同指数, 最大=8
第1对:8+8=2, 2+8=8
第2对:8+8=4, 4+8=8
第3对:8+8=6, 6+8=8,

2个不同指数, 最大=9
第1对:9+9=3, 3+9=9
第2对:9+9=6, 6+9=9,

2个不同指数, 最大=10
第1对:10+10=2, 2+10=10
第2对:10+10=4, 4+10=10
第3对:10+10=5, 5+10=10
第4对:10+10=6, 6+10=10
第5对:10+10=8, 8+10=10,
......

是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 5, 0, 7, 0, 7, 6, 7, 0, 11, 0, 11, 8, 11, 0, 15, 4, 13, 8, 15, 0, 21, 0, ...


第 3 类:  a,b,c 3个指数各不相同="模糊数"。

3个不同指数, 最大=2, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=3, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=4, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=5, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,
第02组:2+4=6, 2+6=4, 4+6=2,
第03组:3+4=6, 3+6=4, 4+6=3,

3个不同指数, 最大=7, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=8, "模糊"=12。
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8, 2+8=6, 6+8=2,
第03组:3+6=8, 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,

3个不同指数, 最大=9, "模糊"=12。
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,

3个不同指数, 最大=10, "模糊"=36。
第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,

3个不同指数, 最大=11, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=12, "模糊"=66。
第01组:2+03=12, 2+12=03, 03+12=2,
第02组:2+04=12, 2+12=04, 04+12=2,
第03组:2+06=12, 2+12=06, 06+12=2,
第04组:2+08=12, 2+12=08, 08+12=2,
第05组:2+09=12, 2+12=09, 09+12=2,
第06组:2+10=12, 2+12=10, 10+12=2,
第07组:3+04=12, 3+12=04, 04+12=3,
第08组:3+06=12, 3+12=06, 06+12=3,
第09组:3+08=12, 3+12=08, 08+12=3,
第10组:3+09=12, 3+12=09, 09+12=3,
第11组:3+10=12, 3+12=10, 10+12=3,
第12组:4+06=12, 4+12=06, 06+12=4,
第13组:4+08=12, 4+12=08, 08+12=4,
第14组:4+09=12, 4+12=09, 09+12=4,
第15组:4+10=12, 4+12=10, 10+12=4,
第16组:5+10=12, 5+12=10, 10+12=5,
第17组:6+08=12, 6+12=08, 08+12=6,
第18组:6+09=12, 6+12=09, 09+12=6,
第19组:6+10=12, 6+12=10, 10+12=6,
第20组:8+09=12, 8+12=09, 09+12=8,
第21组:8+10=12, 8+12=10, 10+12=8,
第22组:9+10=12, 9+12=10, 10+12=9,
......

是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 0, 9, 0, 12, 12, 36, 0, 66, 0, 78, 81, 90, 0, 174, 0, 192, 165, 219, 0, 333, 99, 309, ...


除了这3类数,其他数都是明确“有解”的。
 楼主| 发表于 2023-2-12 17:50 | 显示全部楼层
我们重点讨论第3类数: a,b,c 3个指数各不相同="模糊数"。

3个指数均不相同时, 如何把"模糊"移到"有解'或"无解"去。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6,(03,  -2, 1),  2+6=3,(03, -1, 2),   3+6=2,(2, 1, 03),
第02组:2+4=6,(75, 10, 5),  2+6=4,(63, 6, 15),  4+6=2,(6, 3, 45),
第03组:3+4=6,(-18, 9, 3),  3+6=4,(18, 3, 09),  4+6=3,(9,-3, 18),

3个不同指数, 最大=8, "模糊"=12。
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8,(6000+20=10), 2+8=6,(514500+35=175), 6+8=2,(12+6=2160),
第03组:3+6=8,(18+3=3), 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,

3个不同指数, 最大=9, "模糊"=12。
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,(2+2=24),
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,(432+72=15552),
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,

谢谢 Treenewbee 给出上述"模糊"答案。

这题目有点沉,本人还是想走一走 !
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发表于 2023-2-12 22:41 | 显示全部楼层
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,

这个肯定是没正整数解的

评分

参与人数 1威望 +20 收起 理由
王守恩 + 20 为什么哪(天天想,还是没想不出来)???

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 楼主| 发表于 2023-2-14 08:13 | 显示全部楼层
补充。
1, 主帖: \(x^a+y^b=z^c 的正整数解\)

   已知 a,b,c,   求 x,y,z,    a,b,c  是一组数。

   主帖把这些数组分为 3 类。

   第 1 类:  a,b,c 3个指数相同=费尔马数。

   第 2 类:  a,b,c 3个指数有2个相同(部分)=费尔马数。

   第 3 类:  a,b,c 3个指数各不相同(部分)="模糊数"。

   除了这 3 类数,其他数组都是明确“有解”的。

2, 对一组数,只要有一个解,就可以有“无数”个解。

  在这“无数”个解中,肯定有一个是最小的(这里不讨论)。

3, 这里讨论找 "模糊数" 的解,

   每道题有一个解就行(当然多多益善),

   放宽条件:“+”改“-”也可以,

   解得一道是一道,不强求,

   不强求,我的技术不行(只能做些简单的)。

谢谢各位网友!
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 楼主| 发表于 2023-2-15 09:16 | 显示全部楼层
\(有这样一串数:  a(n)=\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor\ \ \ \ \ n=1, 2, 3, 4, 5, 6, ......\)     

0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, ......

  \(x^{a(n)}+y^{a(n+1)}=z^{a(n+2)}\)  正整数解。

\(a(n),a(n+1),a(n+2)\ \ 可以交换位置。\)
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 楼主| 发表于 2023-2-16 20:02 | 显示全部楼层
Treenewbee 发表于 2023-2-12 22:41
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,

这个肯定是没正整数解的

谢谢 Treenewbee !虚心讨教。

第 2 类:  a,b,c 3个指数有2个相同=费尔马数。详见1楼

是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 5, 0, 7, 0, 7, 6, 7, 0, 11, 0, 11, 8, 11, 0, 15, 4, 13, 8, 15, 0, 21, 0,
{0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 5, 0, 7, 0, 7, 6, 7, 0, 11, 0, 11, 8, 11, 0, 15, 4, 13, 8, 15, 0, 21, 0,
15, 12, 17, 10, 23, 0, 19, 14, 23, 0, \29, 0, 23, 20, 23, 0, 31, 6, 29, 18, 27, 0, 35, 14, 31,
20, 29, 0, 43, 0, 31, 26, 31, 16, 45, 0, 35, 24, 45, 0, 47, 0, 37, 34, 39, 16, 53, 0, 47, 26}

\(a(n)=\displaystyle\sum_{k=2}^{n - 1}\lfloor\lceil FractionalPart(GCD(n, k)^{-1})\rceil\rfloor\)

这些“0”不能去掉。通项公式可以调吗?
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发表于 2023-2-16 20:49 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-2-16 20:02
谢谢 Treenewbee !虚心讨教。

第 2 类:  a,b,c 3个指数有2个相同=费尔马数。详见1楼

没看明白。你给出的序列计算过于复杂,趣味性难免就下降了
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 楼主| 发表于 2023-2-17 07:10 | 显示全部楼层
Treenewbee 发表于 2023-2-16 20:49
没看明白。你给出的序列计算过于复杂,趣味性难免就下降了

谢谢 Treenewbee !虚心讨教。

第 2 类:  a,b,c 3个指数有2个相同=费尔马数。详见1楼

a,b,c 3个数中有2个相同,另外1个数<这2个相同数,3个数的公约数>1,

最大=1, a(1)=0
最大=2, a(2)=0
最大=3, a(3)=0

最大=4, a(4)=1
2个不同指数, 最大=4
第1对:4+4=2, 2+4=4

最大=5, a(5)=0

最大=6, a(6)=3
2个不同指数, 最大=6,
第1对:6+6=2, 2+6=6
第2对:6+6=3, 3+6=6
第3对:6+6=4, 4+6=6,

最大=7, a(7)=0

最大=8, a(8)=3
2个不同指数, 最大=8
第1对:8+8=2, 2+8=8
第2对:8+8=4, 4+8=8
第3对:8+8=6, 6+8=8,

最大=9, a(9)=2
2个不同指数, 最大=9
第1对:9+9=3, 3+9=9
第2对:9+9=6, 6+9=9,

最大=10, a(10)=5
2个不同指数, 最大=10
第1对:10+10=2, 2+10=10
第2对:10+10=4, 4+10=10
第3对:10+10=5, 5+10=10
第4对:10+10=6, 6+10=10
第5对:10+10=8, 8+10=10,

最大=11, a(11)=0
最大=12, a(12)=7
最大=13, a(13)=0
最大=14, a(14)=7
最大=15, a(15)=6
最大=16, a(16)=7

是这样一串数:

0, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3, 2, 5, 0, 7, 0, 7, 6, 7, 0, 11, 0, 11, 8, 11, 0, 15, 4, 13, 8, 15, 0, 21, 0,
15, 12, 17, 10, 23, 0, 19, 14, 23, 0, 29, 0, 23, 20, 23, 0, 31, 6, 29, 18, 27, 0, 35, 14, 31,
20, 29, 0, 43, 0, 31, 26, 31, 16, 45, 0, 35, 24, 45, 0, 47, 0, 37, 34, 39, 16, 53, 0, 47, 26}

\(a(n)=\displaystyle\sum_{k=2}^{n - 1}\lfloor\lceil FractionalPart(GCD(n, k)^{-1})\rceil\rfloor\)

这些“0”不能去掉。通项公式可以调吗?
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发表于 2023-2-17 08:30 | 显示全部楼层
最大=5, a(5)=0

2^4+2^4=2^5,4^2+4^2=2^5
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 楼主| 发表于 2023-2-17 08:55 | 显示全部楼层
Treenewbee 发表于 2023-2-17 08:30
最大=5, a(5)=0

2^4+2^4=2^5,4^2+4^2=2^5

3个数a,a,b:  a>b,a,b公约数>1,
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