x^a+y^b=z^c 的正整数解

王守恩

求\(x^3+y^4=z^5 的正整数解，基本也就这两种解法。\)

1,\(\frac{\big((v^{5 a} - u^{4 b})^{7} k^{20 n}\big)^{3} +\big (u^{ b} (v^{5 a} - u^{4 b})^{5} k^{15 n}\big)^{4}}{\big(v^{a} (v^{5 a} - u^{4 b})^{4} k^{12 n}\big)^{5}}=1\)
   v=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   u=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......


2,\(\frac{\big(v^a (v^{3 a} + u^{4 b})^{8} k^{20 n}\big)^{3} +\big (u^ {b} (v^{3 a} + u^{4 b})^{6} k^{15 n}\big)^{4}}{\big((v^{3 a} + u^{4 b})^{5} k^{12 n}\big)^{5}}=1\)
   v=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   u=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   a=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   b=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

王守恩

谢谢费尔马！

\(\frac{\big (u^{ b} (v^{(2n+3)a} - u^{(2n+1)b})^{2n+3}\big)^{2n+1}+\big((v^{(2n+3) a} - u^{(2n+1) b})^{2n+2}\big)^{2n+2}}{\big(v^{a} (v^{(2n+3)a} - u^{(2n+1) b})^{2n+1}\big)^{2n+3}}=1\)
   v=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   u=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

\(\frac{\big (u^{ b} (v^{(s*n+t+1)a} - u^{(s*n+t-1)b})^{s*n+t+1}\big)^{s*n+t-1}+\big((v^{(s*n+t+1) a} - u^{(s*n+t-1) b})^{s*n+t}\big)^{s*n+t}}{\big(v^{a} (v^{(s*n+t+1)a} - u^{(s*n+t-1) b})^{s*n+t-1}\big)^{s*n+t+1}}=1\)
   v=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   u=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   s=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

王守恩

\(\frac{\big (u^{ b} (v^{(s*n+t+1)a} - u^{(s*n+t-1)b})^{s*n+t+1}*k^{(s n + t) (s n + t + 1) p}\big)^{s*n+t-1}+\big((v^{(s*n+t+1) a} - u^{(s*n+t-1) b})^{s*n+t}*k^{(s n + t - 1) (s n + t + 1) p}\big)^{s*n+t}}{\big(v^{a} (v^{(s*n+t+1)a} - u^{(s*n+t-1) b})^{s*n+t-1}*k^{(s n + t - 1) (s n + t) p}\big)^{s*n+t+1}}=1\)
   v=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   u=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   s=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......
   p=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

Treenewbee

\[\frac{\big (u^{ } (v^{(n+1)} - u^{(n-1)})^{n+1}*k^{n^2+n }\big)^{n-1}+\big((v^{(n+1) } - u^{(n-1) })^{n}*k^{n^2 - 1 }\big)^{n}}{\big(v^{} (v^{(n+1)} - u^{(n-1) })^{n-1}*k^{n^2-n}\big)^{n+1}}=1\]

Treenewbee

\[\frac{( (uwk^n)^{n+1})^{n-1}+\big(w^{n}*k^{n^2 - 1 }\big)^{n}}{\big(v(wk^n)^{n-1})^{n+1}}=1\]

其中\[w=v^{n+1} - u^{n-1}\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-2-19 14:10
\[\frac{( (uwk^n)^{n+1})^{n-1}+\big(w^{n}*k^{n^2 - 1 }\big)^{n}}{\big(v(wk^n)^{n-1})^{n+1}}=1\]

...

谢谢 Treenewbee！目的很明确：

千方百计让\(\big(\ \ \big)\)里的指数跑出来！

千方百计让\(\big(\ \ \big)\)外的指数长大起来！

如果算私心的话：变出主帖的"模糊数"来！

\[\frac{\big(u(wk^n)^{n+1}\big)^{n-1}+\big(w^{n}*k^{n^2-1}\big)^{n}}{\big(v(wk^n)^{n-1}\big)^{n+1}}=1\]

王守恩

\(\big((a^{2}-1)^{08}\big)^{1}+\big((a^{2}-1)^{03}\big)^{03}=\big(a(a^{2}-1)^{04}\big)^{2}\)
\(\big((a^{3}-1)^{12}\big)^{2}+\big((a^{3}-1)^{05}\big)^{05}=\big(a(a^{3}-1)^{08}\big)^{3}\)
\(\big((a^{4}-1)^{16}\big)^{3}+\big((a^{4}-1)^{07}\big)^{07}=\big(a(a^{4}-1)^{12}\big)^{4}\)
\(\big((a^{5}-1)^{20}\big)^{4}+\big((a^{5}-1)^{09}\big)^{09}=\big(a(a^{5}-1)^{16}\big)^{5}\)
\(\big((a^{6}-1)^{24}\big)^{5}+\big((a^{6}-1)^{11}\big)^{11}=\big(a(a^{6}-1)^{20}\big)^{6}\)
\(\big((a^{7}-1)^{28}\big)^{6}+\big((a^{7}-1)^{13}\big)^{13}=\big(a(a^{7}-1)^{24}\big)^{7}\)
\(\big((a^{8}-1)^{32}\big)^{7}+\big((a^{8}-1)^{15}\big)^{15}=\big(a(a^{8}-1)^{28}\big)^{8}\)
\(\big((a^{9}-1)^{36}\big)^{8}+\big((a^{9}-1)^{17}\big)^{17}=\big(a(a^{9}-1)^{32}\big)^{9}\)

王守恩

谢谢 Treenewbee ！虚心讨教。

第 3 类:  a,b,c 3个指数各不相同="模糊数"。详见1楼

a,b,c 3个指数各不相同，且任意一个与另外2个的积有>1的公约数。

3个不同指数, 最大=2, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=3, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=4, "模糊"=0。
3个不同指数, 最大=5, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=6, "模糊"=9。
第01组:2+3=6, 2+6=3, 3+6=2,
第02组:2+4=6, 2+6=4, 4+6=2,
第03组:3+4=6, 3+6=4, 4+6=3,

3个不同指数, 最大=7, "模糊"=0。

3个不同指数, 最大=8, "模糊"=12。
第01组:2+4=8, 2+8=4, 4+8=2,
第02组:2+6=8, 2+8=6, 6+8=2,
第03组:3+6=8, 3+8=6, 6+8=3,
第04组:4+6=8, 4+8=6, 6+8=4,

3个不同指数, 最大=9, "模糊"=12。
第01组:2+6=9, 2+9=6, 6+9=2,
第02组:3+6=9, 3+9=6, 6+9=3,
第03组:4+6=9, 4+9=6, 6+9=4,
第04组:6+8=9, 6+9=8, 8+9=6,

3个不同指数, 最大=10, "模糊"=36。
第01组:2+4=10, 2+10=4, 4+10=2,
第02组:2+5=10, 2+10=5, 5+10=2,
第03组:2+6=10, 2+10=6, 6+10=2,
第04组:2+8=10, 2+10=8, 8+10=2,
第05组:3+6=10, 3+10=6, 6+10=3,
第06组:4+5=10, 4+10=5, 5+10=4,
第07组:4+6=10, 4+10=6, 6+10=4,
第08组:4+8=10, 4+10=5, 5+10=4,
第09组:5+6=10, 5+10=6, 6+10=5,
第10组:5+8=10, 5+10=8, 8+10=5,
第11组:6+8=10, 6+10=8, 8+10=6,
第12组:6+9=10, 6+10=9, 9+10=6,
......

是这样一串数(这可是一串在 OEIS 找不到的数):

0, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 4, 12, 0, 22, 0, 26, 27, 30, 0, 58, 0, 64, 55, 73, 0, 111, 33, 103, 70,
133, 0, 215, 0, 144, 135, 181, 125, 275, 0, 228, 189, 307, 0, 424, 0, 328, 322, ......

\(a(n)=\displaystyle\sum_{b=3}^{n - 1}\sum_{c=2}^{b - 1}\bigg\lfloor\frac{\lceil FractionalPart(GCD(n, b)^{-1})\rceil+\lceil FractionalPart(GCD(b, c)^{-1})\rceil+\lceil FractionalPart(GCD(c, n)^{-1})\rceil}{2}\bigg\rfloor\)

这公式太臭。就是这些符号，上次调得太好了(耿耿于怀)!

这次怎么也调不出来！ 谢谢 Treenewbee ！

Select[Table[n*(n - 1)/2, {n, 600}], IntegerQ[Sqrt[3*# + 1]] &]

\(a(n)=\frac{n(n-1)}{2}*\bigg(1-\bigg\lceil  FractionalPart\bigg(\sqrt{\frac{w*n(n-1)+2}{2}}\bigg)\bigg\rceil\bigg)\)

Table[(n (n - 1))/2 (1 - Ceiling[FractionalPart[Sqrt[(3 n (n - 1) + 2)/2]]]), {n, 1, 600}]

王守恩

主帖目的很明确：

如何让\(\big(\ \ \big)\)里的指数跑出来！变成主帖的"模糊数"！譬如：

\[\frac{\big(2^{20n+8}\big)^{3}+\big(2^{15n+6}\big)^{4}}{\big(2^{12n+5}\big)^{5}}=1\]

王守恩

谢谢 Treenewbee ！这2道题可能有解吗？用您的电脑试试(我的电脑不行)。

1,  \(x^{s}+y^{t}=z^{s*t}\)  x>0,  y>0,  z>0,  s≥2,  t≥3,

2,  \(x^{s}+y^{s*t}=z^{t}\)  x>0,  y>1,  z>0,  s≥2,  t≥3,