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关于自然数及其集合N的基本概念问题，余元希等学者编写的《初等代数研究》[3] 的第一章根据ZFC形式语言集合论进行了解说。 其中“§ 1.1 自然数的基数理论”是使用ZFC形式语言公理体系中空集存在与并集合公理定义自然数的，笔者认为：他使用一系列等式 =3，……一给出的自然数定义，不仅与自然数的实际应用方法有差别，不便于实际应用，而且根据并集合概念中“某一元素出现多次与一次相同”的概念，可以说等式 =3左端表示的是空集，他不能等于右端的自然数3。 该书“§ 1.2 自然数的序数理论”使用皮亚诺（G..Peano）提出的自然数公理建立自然数序列的做法是可以的，但他的这个序列还应用了ZFC形式语言集合论的“无穷集合N存在公理”，对于这个公理，需要研究“无穷集合N 如何才能存在的问题”。为此笔者提出了如下的从实践出发的自然数及其集合的定义与应用的说明。
定义1，空集这个术语，表示没有元素（或元素个数为0）的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数）。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则就构成了现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”。
这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则，是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。也需要使用毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述。
对于现行教科书称N=｛0，1，2，3，……｝为自然数无穷集合的论述，也需要根据实践讨论它的来源于有穷集合的本质及其性质。首先，根据自然数的十进计数法可以提出如下的三个以有穷集合为项的无穷序列 ：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
然后使用广义极限的方法，得到这三个无穷序列的趋向性极限都是想象性的元素个数为+∞的无穷集合。式中符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[4] 性质的“非正常实数”。序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，虽然这三元素个数列的广义极限都是+∞，但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 与 的定值法则，都需要使用∞与0的取极限之前变数计算其不定式的极限值，因此上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的元素个数比（1）（2）式都多。康托尔把无穷集合元素看做定数，提出的无穷序数、无穷基数，自然数集合元素个数为 的做法违背事实；这样无穷集合理论造成了正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的错误。事实上，这两个集合的元素个数分别为： 。使用整序变量中的不定式定值法，可以得到两者的比为： 这说明正整数集合1，2，3，……比其真子集1,4,9,……的元素个数多得多；由于对无穷集合一一对应法则进行不到底，不能使用“一一对应法则，得出：“无穷集合与其真子集元素个数相等”的悖论，应当提出无穷自然数集合如下定义。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向为包含所有自然数的元素个数为非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；记作N=｛0，1，2，3，……｝。
对于文献[5]（张锦文编著. 《集合论与连续统假设浅说》）中叙述的罗素悖伦，由于罗素没有提出无穷集合是无法构成的非正常集合的概念，所以，文献[5]中使用概括性表达式 得出了“所有正常集合组成的集合是不是正常集合”是无法判断的罗素悖伦。现在，根据上述定义2与自然数集合的构造过程就说明：“正常集合有无穷多；以所有正常集合为元素组成的集合是元素个数为+∞的非正常集合”的概念，罗素悖论就不存在了。此外，根据无穷集合不能构造完毕的事实，康托尔无穷基数的术语不能提出，文献[5]48页中康托尔定理对无穷集合不成立，文献[5]59页说的“康托尔悖论”也是不存在的。我们不需要为消除这两个悖论去建立ZFC形式语言集合论。此外，由于文献[6]（谢邦杰编著，《超穷数与超穷论法》）介绍了ZFC形式公理体系中选择公理应用中存在着使用选择公理的“分球奇论”与不用选择公理的许多"怪"定理，而且依赖于这个公理的《非标准分析》中提出那种大于N中所有自然数的无穷大自然数，不仅不能用十进计数法标出，而且违背了自然数集合N包含了所有自然数的性质；它们无有实用价值；应当坚持：无穷集合只是想象性质的无法构造完毕的非正常集合性质；康托尔的“数学必须肯定实无穷，实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”的观点是违背实践事实的。 ZFC形式公理中的“无穷集合存在公理”需要改写为“无穷集合只是其元素个数趋向于 ，但永远无法构造完毕的想象性非正常集合”。笔者还发现：文献[3]§1.3 对无穷集合数学归纳法的应用需要添加如下的注解。这个注解是：“当自然数n 能被写出时，推出n+1也能被写出之后，只能说任意有限自然数可以被写出，但不能得到所有自然数都能被写出的结论，因为这个结论违背了所有自然数无法被写出的事实”。所以“数学归纳法也有失效的地方”。
深入联系实践事实的上述自然数及其集合概念的改革是数学理论的根本性改革，它影响到所有数学。例一：根据自然数集合不可构造完毕的事实，可知：无穷数列｛1./n｝与{1/10^n } 都是变量，而不是定数；虽然它们的极限值是0，但极限值具有变量性数列不可达到的事实需要被尊重。对于微积分学中的“无穷小”，菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册，38-39页已经指出： “由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的，希望不要引起读者的误解，这个量的任何个别数值，只要它不是零，就不能是《很小的》量，事实上，无穷小是这样的一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于任意选取的数ε”。李二，收敛无穷级数和是其前n项和的无穷数列｛Sn｝的趋向性极限值S，无穷级数 u1+u2+……+un+……表示的无穷项加法运算无法进行到底，现行教科书中等式u1+u2+……+un+……=S也是概念混淆的错误等式，应当改写为 lim n→∞ Sn=S。
下文第4节将根据无穷集合的性质提出：文献[3]87页，无尽小数为实数的定义不成立，现行教科书中的“实数都是理想实数”的概念，下文第5节将使用类似于定义2的方法得到：有理数集合、实数集合都是元素个数为非正常实数+∞的想象性不可构造完毕的想象性质的非正常集合。无穷集合之间的一一对应法则”进行不到底，想象性无穷集合的元素个数都不是自然数，所以对无穷集合不能提出可数与否的术语，它们都是不可数的集合；只有元素个数是有限自然数有限集合，才可以说是可数集合。现行教科书中“有理数集合与其真子集的自然数集合的有共同基数的元素个数相等”的说法不成立。闭区间[0,1]表示的理想实数集合也是不可数、不可列的集合，但现行实变函数论教科书对这个集合不可列或不可数的证明无效，事实上文献[5]叙述的证明中不仅使用了无尽小数表示实数的错误做法，而且它的证明中使用的 是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题，反证法不能用。还可以进一步指出，无尽循环小数0.999……是理想实数1的近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……的简写，它不等于1，它的趋向性极限才是1；在准确到两位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.00，0.01，，0.02，……0.99，1.00，的101个有理数的真正可数集合；在准确到四位小数近似的意义下，区间[0,1]可以是0.0000，0.0001，，0.0002，……0.9999，1.0000，的10001个有理数的真正可数集合，……，可以是任意多位有尽位十进小数组成的可数集合，其趋向性极限才是无穷集合，但极限性无穷集合具有不能构造完毕的想象性质。这样就消除了文献[5]87页叙述的“到目前为止，人们还没有解决连续统问题，……，它仍是数学中一大难题（这个大难题是希尔伯特1900年提出的23 个问题中的第一个问题）”。这样一来，就消除了涉及无穷集合的第三次数学危机。
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发表于 2023-2-17 16:38
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