一个数学爱好者眼中的高等数学

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一个数学爱好者眼中的高等数学

原创 刘瑞祥 遇见数学 2022-02-08 20:16

先说明一下，本人勉强可以算是一个数学爱好者，只是在二十多年前大学时学过一点高等数学——而且是非数学专业的高等数学——所以肯定水平很低，这篇文章只是自己的一些思考，而且只涉及一些简单的微积分和线性代数。

数学，发展到了高等数学阶段以后，可以说是“开了挂”，很多原来解决不了的问题都迎刃而解了，而且高等数学对很多问题的看法也和初等数学不一样，于是就有人说，不要管初等数学了，来搞高等数学吧。我并不是反对这种说法，但是我要补充两句，那就是，初等数学学不好，是没法学高等数学的，而高等数学也没那么神秘。



先说第一句。我能想到的最直接的例子就是导数公式，比如  的导数是什么？怎么推导？这里需要用到和差化积公式，算不算是初等数学？另外一个例子则是二阶常微分方程，在解法上和一元二次方程关系密切，而后者是典型的初中知识。不仅如此，我们还需要初等数学对代数式进行各种处理。比如说，当我们要对三角函数或者分式函数积分的时候。类似的例子当然还可以举出很多，我再说个小故事吧，这是件实事：我高中第一次月考前同学们问数学老师要考什么，老师幽了一默：“学过的都考，嗯，要不要考因式分解呢？”谁都知道因式分解是初中知识，但是高中为什么要考？还不是因为某些地方会用到。这个道理在学高等数学的时候同样适用。

下面再说高等数学不神秘。很多人感觉线性代数很难，其实在我看来，这就是普通的平面（和立体）坐标系里相关知识的 进一步推广。其中至少平面坐标系是我们在中学早就熟悉了的，也早就用来研究各种几何问题了。如果你在学线性代数的时候，脑子里有平面坐标系作例子，能够时刻注意到二者的联系和区别，是不是感觉就容易多了呢？说到底，你所觉得的“难”，是因为你只停留在教材原文上，始终在一大堆定义、性质的文字叙述里打转转。记得华罗庚老先生曾经要求大家读书的时候要把书“从薄读到厚再从厚读到薄”，这里的“从薄读到厚”就是说你要带着具体例子去理解教材。再以二项式定理为例，如果你仅研究正整数指数的情况，那仅用排列组合的知识就可以了，可是如果你把它引申到任意指数，那就开启了“泰勒展式”的大门，而据说，当年牛顿等人研究微积分的时候，二项式定理曾经是个重要的工具哩。


▲ Photo by Tim Mossholder on Unsplash

有人也许会说，你举的这些例子都太浅了，但是，即使再高深的东西都是由浅入深逐步发展而来的。我再举一个完全是初等数学的例子。好像现在初中都不讲余弦定理了？但其实只要学生学过勾股定理，而且了解任意角的三角函数定义，是很容易自己推出公式的。这是二者相联系的一方面，而另一方面，余弦定理比勾股定理适用范围要广得多，威力大得多，而且这里的关键思想——由锐角推广到任意角的三角函数——学生不容易想到，即使你直接告诉学生了，学生也不容易想到要推广勾股定理——除非你给学生出一道要求用字母计算斜三角形的题目。我的意思是，高等数学和初等数学之间的关系，很多时候也像余弦定理和勾股定理的关系，往往关键的进展只有一步，但这一步往往很难，这就是教材和老师的作用了。

作者: 刘瑞祥，原文来自 blog.sina.com.cn/s/blog_b2ad877f0102yx5j.html

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初等数学:
（英语：Elementary mathematics），简称初数，是指通常在小学或中学阶段所教的数学内容，与高等数学相对。
小学：整数、分数和小学的四则运算、数与代数、空间与图形、简单统计与可能性、一元一次方程，圆，正负数，立体几何初步。
初中代数部分：有理数（正数和负数及其运算），实数（根式的运算），平面直角坐标系，基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数），简单统计，锐角三角函数，方程（一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，三元一次方程组），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。 [1]
几何部分：全等三角形，四边形（重点是平行四边形及特殊的平行四边形），对称与旋转，相似图形（重点是相似三角形），圆的基本性质，
高中集合，基本初等函数（指数函数、对数函数，幂函数，高次函数），二次函数根分布与不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函数，解析几何与圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线），复数，数列，高等统计与概率，排列组合，平面向量，空间向量，空间直角坐标系，导数以及相对简单的定积分。