数学三大核心领域概述之几何

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数学三大核心领域概述之几何

作者：余弟 中国科学院数学与系统科学研究院 2023-03-02 14:42 发表于北京

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100 多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来数学有三大核心领域：

i. 数学中研究数的部分属于代数学的范畴；

ii. 研究形的部分，属于几何学的范畴；

iii. 沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范畴。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本文简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

几何学范畴

1  初等几何

在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。

现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形（点、线、面、角、圆等）在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。

初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。

几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。

现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是 15 世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。

古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前 2 世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算 sinθ 值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。

由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年（约公元前 1100 年左右）的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派（公元前 6 世纪），虽然巴比伦人在此以前 1000 多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了 370 种证明。

19 世纪以来，人们对于关于三角形和圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。至今这一研究领域仍然没有到头，不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。

2  射影几何

射影几何学是一门讨论在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的一门几何学。幻灯片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变成另一组图形，这在数学上就叫做射影对应。射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。

射影几何是迪沙格和帕斯卡在 1639 年开辟的。迪沙格发表了—本关于圆维曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理，这些课题是今天学习射影几何这门课程的人所熟悉的。年仅 16 岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定理，并于 9 年后写了一份内容很丰富的手稿。18 世纪后期，蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法，因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长的、麻烦的算术运算。

射影几何真正独立的研究是由彭赛勒开创的。1822 年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给该领域的研究以巨大的推动作用。他的许多概念被斯坦纳进一步发展。1847 年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使射影几何最终从测量基础中解脱出来。

后来证明，采用度量适当的射影定义，能在射影几何的范围内研究度量几何学。将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中，就能得到传统的非欧几何学。在 19 世纪晚期和 20 世纪初期，对射影几何学作了多种公设处理，并且有限射影几何也被发现。事实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过渡到欧几里得几何，其间经历了许多其它重要的几何学。

3  解析几何

解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。

在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。

1637 年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。

这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是 100 多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于 1692 年提出的。1733 年，年仅 18 岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748 年，欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788 年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844 年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。

解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。

4  非欧几何

非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏（罗巴切夫斯基）几何；广义的，泛指一切和欧氏（欧几里得）几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。

欧几里得的第5公设（平行公设）在数学史上占有特殊的地位，它与前 4 条公设相比，性质显得太复杂了。它在《原本》中第一次应用是在证明第 29 个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其它公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。

罗巴契夫斯基于 1826 年，鲍耶于 1832 年发表了划时代的研究结果，开创了非欧几何。在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。

1854 年，黎曼推出了另一种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线平行的直线可引”，用以代替第 5 公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。1871 年，克莱因把这 3 种几何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。

非欧几何的发现不仅最终解决了平行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。

1854 年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。他指出：每种不同的（两个无限靠近的点的）距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。1872 年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。

19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。1899 年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性（无矛盾性）、独立性和完备性的普遍原则。按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了。

5  拓扑学

1736 年，欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。他还提出球面三角形剖分图形顶点、边、面之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。

庞加莱于 1895～1904 年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。他把欧拉公式推广为欧拉—庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。

拓扑学开始是几何学的一个分支，在二十世纪它得到了极大的推广。1906 年，弗雷歇发表博士论文，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。在这个基础上，产生了点集拓扑学。在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。

现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。

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