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希尔伯特无穷旅馆,啥叫满?啥叫不满?

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发表于 2023-3-4 10:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 门外汉 于 2023-3-4 02:57 编辑

希尔伯特的无穷旅馆中有无穷多个房间,每一个房间中都唯一的住着一个旅客:1号客人住1号房间,2号客人住2号房间,3号客人住3号房间........,希尔伯特会说,无穷旅馆客满了。
场景一:希尔伯特让所有的人全都出来,一个口令让所有人全都搬到比现住房间小一号的房间里,即:如果他住的是10号房,就搬到9号房,如果他住的是6号房,就搬到5号房.......
我们可以很明显的就看到,1号客人会被无穷多的旅客挤出无穷旅馆之外。
场景二:恢复到最初的状态,希尔伯特让所有的全都出来,一个口令让所有人全都搬到比现住房间大1号的房间里,即:如果他住的是10号房,就搬到11号房,如果他住的是6号房,就搬到7号房......
那么,会有客人被挤出无穷旅馆之外吗?
场景一中,之所以会看见1号客人被挤出无穷旅馆之外,是因为我们所站的位置就是端点的位置
而场景二中,谁也无法走到无穷旅馆的尾端位置去观看。
所以,场景二中,究竟有没有旅客被挤出无穷旅馆之外,谁也不知道。
所以,此问题的正确答案应该是:不知道。
于是我就奇怪了,西方美丽佬们为什么那么确定一定不会有人被挤出无穷旅馆之外呢?难道他们跑到无穷旅馆的尾端去确认了?
发表于 2023-3-7 06:40 | 显示全部楼层
希尔伯特旅馆不是数学对象. 而是可数无穷集的一个比喻(一个元素算作一间房). 如果每间客房恰有一个房客入住,每个房客都有自己的客房,那么房客的集合就与客房的集合之间建立了一一对应. 希尔伯特只说,可数无穷多房客总能与可数无穷多房客按某种方式一一对应. 而不是所有对应都是一一对应.

希尔伯特旅馆的例子表明, 无穷情况下的滿不等于不能安置新房客.

现实世界是有穷的. 数学世界是无穷的,用现实事物比喻数学事物,有所不妥但便于想象. 想入非非也是麻烦.
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