计算数学在中国：传统与现代

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计算数学在中国：传统与现代

作者 | 王涛

来源 | 摘选自《中国计算数学的初创》，科学出版社，2022.3（天元数学文化丛书）

中国是数学的发源地之一，在 14 世纪以前一直是世界上数学最为发达的地域之一，诞生了刘徽、祖冲之等后世家喻户晓的数学家。数学在中国古代被称为算学，由此可以看出算法在中国古代数学中占有的重要地位。然而元中叶以后，中国数学的研究水平停滞不前，近代特别是现代数学知识基本上都是从西方引进的。经过几代中国数学家筚路蓝缕、不懈努力，到 20 世纪末，中国数学的各个学科分支基本上都与国际接轨了。

中国古代数学的计算传统与成就

数学在中国拥有悠久的历史，是中国古代最为发达的科学，特别是在数值计算上有着辉煌的成就。笔者将以数值计算为中心，结合《中国科学技术史·数学卷》（以下简称《大书》[1]），在不区分算术、代数或者几何的背景下，简单介绍其中与数值计算有关的成就。在对钱宝琮《中国数学史》分期的基础上，《大书》将中国古代数学的发展大致分为以下几个时期：

● 中国的兴起（原始社会到西周时期）

● 中国传统数学框架的确立（春秋至东汉中叶）

● 中国传统数学理论体系的完成（东汉末至唐中叶）

● 中国传统数学的高潮（唐中叶至元中叶）

● 传统数学主流的转变与珠算的发展（元中叶至明末）

● 西方数学的传入与中西数学的融会（明末至清末）

在西周之前，中国人已经掌握了完备的十进位与位值制的计数法，普遍使用了算筹[2]这种中国独有的先进工具进行计算。十进制最早见于古埃及，位值制最早见于古代两河流域的六十进位值制，而十进制的位值制计数法（算筹计数法），则极有可能最早出现在中国。这项科学创造是中国对人类文明的巨大贡献，被列入中国科学院发布的“中国古代重要科技发明创造”。

在中国传统数学框架确立的阶段，最主要的著作是《九章算术》，它对先秦以来的数学进行了归纳和总结。其书内容分为九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，共有 246 道题目。《九章算术》在分数理论、比例、盈不足、开方等算法，线性方程组解法，勾股形方法方面具有重要成就，形成了中国传统数学以算法和计算为中心的特点。因此，中国传统数学在某种意义上具有应用数学的特征。

《九章算术》与古希腊《几何原本》有根本不同，即着重考虑了数值计算。笔者选取开方、插值、线性方程组解法简单介绍之。少广章记载有开平方术与开立方术，其中给出了完备的开平方与开立方的演算步骤。盈不足章记载有盈不足术，它在非线性问题的求解中可以给出近似解，可视为一种线性插值方法。方程[3]章记载有方程术，即现今线性方程组及其解法，它的关键算法是遍乘直除。从某种角度而言，这相当于今天所使用的高斯消去法。盈不足术、方程术等算法是中国对人类科学知识的重大创造。

在中国传统数学理论体系完成的阶段，则主要是刘徽与祖冲之的工作。刘徽为《九章算术》做注，祖冲之则著有《缀术》（后失传），在数学理论与计算上均展现出了极高的水准。刘徽不仅改进了开平方术、开立方术，还改进了方程术。更为重要的是，刘徽还将无穷小分割与极限的思想应用于近似计算，使用割圆术来计算圆周率得出 π≈3.1416 。祖冲之则更进一步，将圆周率精确到 3.1415926＜π<3.1415927 。与此同时，中国的天文历法在这一时期也出现了创造性的转变，其使用的计算方法从线性插值发展为二次内插法、差分表以及相当于正切函数表的数表、高次函数以及分段叠加函数等。

唐中叶至元中叶期间，中国传统数学发展到顶峰，并呈现出一些新的特点：理论与应用紧密联系，出现了数码和十进小数，计算技术也得以改进，并产生了珠算。对开方术的研究备受重视，出现了贾宪“增乘开方法”。秦九韶、李冶、朱世杰以增乘开方法为主导，开发出求解高次方程正根的完备方法[4]。天文历法中开始使用招差术，即三次插值公式。在天元术与四元术的基础上，中国数学家根据问题的条件列出方程，然后再用增乘开方法和正负开方术求解，甚至已经体现出科学计算的精神）。

元中叶至明末时期，数学在中国的普及性大大增强，珠算取代了筹算，然汉唐宋元数学著作大量失传，致使增乘开方法、招差术等算法几乎无人知晓或理解，数学在中国的发展方向产生了重大转变。明末至清末期间，西方数学开始传入，中国数学进入到中西会通的阶段。虽然经历两次西方数学向中国传播的高潮，然其意义多在于中西文化交流层面，总的来说对中国数学发展所起的功效并不显著。而西方数学在微积分发明以后，由于微积分是描述自然界的有力工具，因此西方数学无论是在数学理论研究上，还是在数值计算上的成就均大大超过中国。到了清中后期，虽然中国的数学研究水平超过了以往，但仍以初等数学为主，与世界数学的先进水平相比，差距却越来越大了。

计算数学在现代中国的创建发展

19 世纪末 20 世纪初，中国开始另起炉灶，废弃沿用了数千年的传统数学，改而全面学习西方的现代数学，开始派遣多批留学生到国外学习。中国传统数学亦由此而全面中断，成为一个专门的历史研究领域。早期留学生回国后纷纷兴办或投身高等数学教育，1913 年北京大学成立了中国第一个数学系（当时称数学门，1919 年改为系），随后南开大学（1921 年）、南京大学（1921 年，当时叫东南大学）、北京师范大学（1922 年，当时叫北京高等师范学校）、厦门大学（1923 年）等高校先后创办了数学系，至全面抗战前这些大学的数学系在数学教育和数学传播上取得了很大的成绩。

伴随着中国现代数学教育的形成，与之对应的数学研究也开始兴起。陈建功、苏步青、江泽涵、熊庆来、曾炯之等在艰苦卓绝的条件下从事数学研究，取得了一批符合国际水平的成果，形成了现代数学在中国发展的第一个高潮。到了 20 世纪 40 年代，中国数学界涌现出一批数学新星，如华罗庚、陈省身、许宝騄、周炜良、吴文俊等。中国已逐步引入了现代数学的绝大多数分支（主要是纯粹数学），但在应用数学方面仍然存在着较大的空白。

正是在这一时期，电子计算机问世，以数值计算为主要内容之一的现代计算数学开始形成。与其他国家相比，中国数学家对计算数学的前瞻与重视并不算晚。特别是中华人民共和国成立以后，中国数学界以苏联为参照，开始考虑立足自身、全面发展的问题，许多空白或薄弱的数学分支开始得到发展。中国的计算数学正是在这一时期完成了初创，并发展为今天欣欣向荣的局面。

作为现代数学的一个重要分支，计算数学在中国的发展史是中国现代数学史的一个重要组成部分。我们首先来看一下中国现代数学发展的分期，根据数学史家李文林的论述，数学在 20 世纪中国发展历程的阶段为

中国现代数学的兴起（20 世纪初到中华人民共和国成立前）—> 中国现代数学的发展（中华人民共和国成立到“文化大革命”结束）—> 中国现代数学的春天（改革开放以后至今）

计算数学在中国的创建与发展主要发生在中华人民共和国成立以后，属于第二个与第三个阶段。更为详细地，数学史家张奠宙在《中国近现代数学的发展》中又对中华人民共和国成立后数学的发展做了更细致的分期：

“建国初期的中国数学（1953-1956）—> 在挫折中前进的中国数学（1957-1976）—> 拨乱反正时期的中国数学（1976—1985）—> 改革开放时期的中国数学（1986-2000[5]）”

在“建国初期的中国数学（1953-1956）”这一时期，纯粹数学领域的函数论、泛函分析、多复变函数论、解析数论、代数、微分几何与拓扑学等分支在原有基础上继续发展，取得了长足的进步。与此同时，计算数学、偏微分方程、常微分方程、概率论与数理统计等分支也开始了创建。按照这个势头，中国的纯粹数学与应用数学都将取得良好的发展。

但数学的发展不可能游离于社会之外，随后中国发生的一系列事件，不可避免地影响了现代数学在中国的发展。在“在挫折中前进的中国数学（1957-1976）”这一时期，中国数学的发展数起数落，几经打击之后受到了严重的破坏。计算数学在这一时期也遭遇到了很大的挫折，但由于计算数学具有较强的应用性，受挫的程度较纯粹数学为轻，甚至在一些运动中还有些受益，比如 1958 年理论联系实际的争论，很多大学纷纷创办了计算数学专业。而为“两弹一星”直接服务的数学家，受到的影响也要比纯粹数学家要小。

根据中国现代数学史的分期，以及对黄鸿慈先生的采访[6]和刘儒勋依据自身经历谈计算数学普及、教育和发展的体会，本书试将中国计算数学的发展阶段整理如下：

第一阶段：萌芽肇始时期（20 世纪 40 年代初 — 20 世纪 40 年代末）

在计算数学尚未正式诞生之际，中国有个别数学家和科学家便注意到了这门学科的重要性，或从事与之相关、相近的研究工作，其中最主要的是华罗庚。根据现有资料，华罗庚不仅最早注意到计算数学，还积极呼吁发展这门学科。他对中国数学的发展有全面而系统的规划，但由于时机未到、资历不足、外部条件不具备等问题，他的一些设想与行动收效甚微。

第二阶段：创建成长时期（20 世纪 50 年代初 — “文化大革命”结束）

中华人民共和国成立后，随着中央人民政府对应用科学的重视，以及以华罗庚为代表的科学家们的不懈努力，计算数学终于迎来了发展的重大契机。计算数学在 1956 年被列入《1956—1967 年科学技术发展远景规划纲要》（简称《十二年科技规划》），在这一规划的指导下，中国科学院在 1956 年组建了计算技术研究所，其中第三研究室是专门从事计算数学研究的机构。与此同时，北京大学、吉林大学与南京大学等高等院校纷纷设立了计算数学专业。从 1960 年开始，每一到两年召开一次包含计算数学在内的计算技术会议。1964 年，计算数学方面专门的刊物《应用数学与计算数学》创刊。1964-1965 年，冯康、黄鸿慈等在与西方隔绝的情况下，独立地发现了有限元方法并奠定了其数学基础。“文化大革命”期间，计算数学的发展一度停滞。

第三阶段：恢复发展时期（改革开放 — 20 世纪 90 年代初）

改革开放以后，计算数学与其他科学分支一样，迎来了发展的春天。中国科学院计算技术研究所第三研究室独立为计算中心。计算数学的研究队伍很快得到了恢复，并迅速发展壮大。每年有大量学生就读于计算数学专业，其中不少人报考了计算数学专业的研究生，亦有相当一部分学生开始到国外留学，接触到计算数学的国际前沿。《应用数学与计算数学》杂志复刊，更名为《计算数学》。计算中心新创办了《数值计算与计算机应用》，还创办了一份英文杂志《计算数学》（Journal of Computational Mathematics），各种计算数学的相关学术会议相继召开，中国计算数学逐步与国际接轨。

第四阶段：走向世界时期（20 世纪 90 年代中期 一 现在）

从 20 世纪 90 年代中期开始，中国计算数学开始全面走向世界。国内外计算数学的交流日趋频繁，大批 80 年代出国的留学生开始成长起来，他们因出色的工作而获得各种奖项与荣誉，在国际上崭露头角，很多人在国外一些著名的大学取得了重要的学术位置，他们自动或受邀回到中国，进行学术交流和访问，将国外计算数学最新的研究成果带回国内。同时，大量的学生开始到国外学习计算数学，国内也有计划地派出研究人员到国外访问学习，本土培养的计算数学博士也逐渐成长起来。近年来，有多位中国计算数学家当选为中国科学院院士，国际数学家大会和国际工业与应用数学大会也不时邀请中国计算数学家作大会报告。如今，中国计算数学在世界上占有十分重要的地位。

注释：

[1]《中国科学技术史》共 26 卷，国内学者一般称为“大书”，在不引起误解的情况下，笔者将数学卷也简称为《大书》。

[2] 算筹即长条形小棍，材质主要是竹和木，尤以竹居多。算筹具有简便快捷的优点，造就了中国古代数学长于计算与算法的特点。

[3] 此“方程”并非现代数学术语中的“方程”之意。该章的主要内容是处理今天用线性方程组解决的多个未知量的问题。

[4] 秦九韶的正负开方术在西方被称为霍纳算法（Horner's method）。

[5] 这部著作完成于世纪之交，故截止到 2000 年，特此说明。

[6] 见附录对黄鸿慈教授的访谈。



《中国计算数学的初创》

作者：王涛

出版社：科学出版社

出版时间：2022-03