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【资料】2023CMO吉林赛区初赛中的椭圆表现

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发表于 2023-5-30 02:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
涉及到的椭圆,
表现如图

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 楼主| 发表于 2023-5-30 02:08 | 显示全部楼层
题目:
已知椭圆
  \(                 \frac{x^2}{  4    }+ y^2   =1     \)


  \(               经过点Q(-2,-1)来作直线\ell    \)
  \(               与椭圆的下部交于不同的两点A,B    \)
  \(               链接PA,PB,交直线y=-1于C,D两点    \)
  \(               Prove    \qquad    that:    \)
下式是一个定值
  \(               QC+QD-QC   \bullet    QD    \)



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 楼主| 发表于 2023-5-30 02:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2023-5-30 02:29 编辑

\begin{align*}
'PROOF\\


Set  \qquad    \ell:   x+2=t(y+1)\\
  \begin{cases}        x+2=t(y+1)           \\    x^2+4y^2=4               \end{cases}\\
\Longrightarrow   (t^2+4)y^2+(2t^2-4t)y+(t^2-4t)&=0\\


Set:A(x1,   y1),  B(x2,  y2)\\
\Longrightarrow    y1+y2&=\frac{  4t -2t^2   }{  t^2+4 },  y1y2=\frac{  t^2-4t   }{  t^2+4 }\\
And   \qquad   set:\\
C( x_C,-1    ),    D( x_D,  -1   )\\
Cauz   \qquad   (PAC)    \qquad    are   \qquad    co-llinear\\

\Longrightarrow       \frac{  y1}{   x1+2}  &=  \frac{  -1}{   x_C+2  }  \\
\Longrightarrow       x_C&=  \frac{-x1-xy1-2          }{y1}  \\
&=  \frac{(  -ty1-t+2   )-2y1-2          }{y1} \\
&=  \frac{(  -t-2   )y1-t          }{y1} \\
\end{align*}
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 楼主| 发表于 2023-5-30 02:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2023-5-30 02:51 编辑

\begin{align*}

Likewise\\
x_D&=  \frac{(  -t-2   )y2-t          }{y2} \\
\Longrightarrow   \frac{  1}{QC} +\frac{1}{QD}  \\
&=  \frac{  1}{    \frac{  (  -t-2   )y1-t   }{y1} +2          }  +\frac{  1}{    \frac{  (  -t-2   )y2-t   }{y2} +2          } \\
&=\frac{y1}{-ty1-t}+\frac{y2}{-ty2-t}\\
&=-\frac{1}{t}   \bullet \frac{        2y1y2+(y1+y2)                     }{y1y2+(y1+y2)    +1}\\

&=-\frac{1}{t}   \bullet   \frac{  2   \bullet  \frac{  t^2-4t   }{  t^2+4 } +\frac{  4t -2t^2   }{  t^2+4 }            }{  \frac{  t^2-4t   }{  t^2+4 } + \frac{  4t -2t^2   }{  t^2+4 }  +1  }\\

&=-\frac{1}{t}   \bullet   \frac{  2t^2-8t  +4t -2t^2     }{     t^2-4t+  4t -2t^2 +           t^2+4       }\\

&=-\frac{1}{t}   \bullet   \frac{  -4t      }{    4  }\\
&=-\frac{1}{t}   \bullet (-t)\\
&=\frac{1}{t}   \bullet t\\
&=1\\
\Longrightarrow     QC+QD-QC    \bullet    QD=0委实是一个定值
\end{align*}
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 楼主| 发表于 2023-5-30 03:00 | 显示全部楼层
评述:
计算下来,
还比较好玩!


但计算过程,
却是充满高度的技巧!

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