有关泰特猜想和3—正则平面图的可3—边着色的问题

雷明85639720

有关泰特猜想和3—正则平面图的可3—边着色的问题
雷  明
（二○二三年五月三十日）

      泰特猜想的证明

1，泰特猜想是正确的。泰特猜想说，无割边的3—正则平面图的可3—边着色等价于其可4—面着色。
2，证明。
（1）可3—边着色到可4—面着色。3—正则图的面，有由两种颜色的边构成的，也有由三种颜色的边构成的。3种颜色的边中，由两种颜色的边构成的面有三种，由三种颜色的边构成的面只有一种，合计共有四种，所以3—正则图面着色时最多四种颜色就够用了。这就证明了泰特猜想的原命题是真的。
（2）从可4—面着色到可3—边着色。用A，B，C，D四种颜色着色的3—正则图中，任两种颜色的面都可构成一种边界，这种边界共有6种，即A—B，A—C，A—D，B—C，B—D和C—D六种，其中A—B和C—D，A—C和B—D，以及B—C和A—D是三对不会相邻（连结）的互斥边，是可以用同一颜色的。这样6种边界就只需用三种颜色来着色。这也就证明了泰特猜想的逆命题也是真的。
（3）原命题和逆命题都是真的，说明命题的条件和结论是互为充要条件的。说明了3—正则图的可3—边着色与可4—面着色是等价的。即有前者成立，后者也必然成立，反过来，有后者成立，前者同样也必然成立。这就证明了泰特猜想是正确的。
要证明四色猜测正确，只要再证明任何无割边的3一正则平面图都是可3一边着色的就可以了。

       小韩图4的可3—边着色

韩文镇朋友，你的图4我做出来了。
（1）的图中A，B两点虽在同一个面的边上，但却不在同一个边二色圈（即偶圈）上。
（2）我考虑这A，B两点所在的面是偶数边（6边）面，偶数边面用三种颜色的边（原图中是两条边用一种颜色）不是不可以，但所用色边却不是最少的。我的目的是想把A，B所在面的边转化成两种颜色（三条边用一种颜色）时，奇绩就出现了。
（3）当从A点所在边开始进行1，3色边的交换后，再从B点所在的边开始进行2，3色边的交换，就出现了A，B所在边的面本身就是一个1，2二色的边二色圈。A和B既处在同一个边二色圈上，又处于同一个面的边上，二者是同一个圈。见下图。
（4）找出普适规侓。首先想办法把增加的两个顶点A和B放在同个边二色圈中。若遇到上述情况，A，B两点不在同一个边二色圈上，A，B所在的面又不是奇数边面，却占用了3种颜色的边时，首先要把该非奇数边面所占用的颜色数转化成两种颜色，然后再在A—B线的一侧进行色边交换即可。
（5）找普适规律是不必要的。因为这是在证明，不是在着色。证明时一次就能解决问题。而着色时的图是给定的，不需要再在某个面的边上增加A点和B点，也就不存在一定要把A，B两点放在同一个边二色圈上的问题。

       小韩图3的可3—着色

给韩文镇图3的可3—边着色。
1，该图是一个与韩文镇的图4相类似的3—正则图，应该与其图4有相同的解法。
2，在加黑了的2，3二色构成的边二色圈上进行2，3色边的交换（见下图），得到了A，B两点所在面的边的排列，与图4中A，B两点所在面的边的排列，是完全相同的图。用解决图4的办法解决就可以了。

雷  明
二○二三年五月三十日于长安