\( \int _0^1 \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{...} } }dx \)

dodonaomikiki · 发表于 2026-3-1 02:22

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2026-3-1 07:09 编辑

MIT麻理积分挑战赛题目
积分符号显得太小，拉伸一下！

\( \displaystyle{\int _0^1} \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{ x^2+x+ \sqrt{...} } }dx \)

Future_maths · 发表于 2026-3-1 11:54

\(t=\sqrt{x^2+x+\sqrt{x^2+x+\sqrt{...}}}\Rightarrow t=\sqrt{x^2+x+t}\Rightarrow t=x+1.\) 代入原积分=3/2

dodonaomikiki · 发表于 2026-3-1 22:04

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2026-3-1 22:05 编辑

\(...t=\sqrt{ x^2+x+t} \)
之后怎么得出t感觉倍为艰难！

dodonaomikiki · 发表于 2026-3-1 22:07

除非就是说，假设t=x+a
然后得出a=1
不过感觉这样做，过于“狡猾”啦

dodonaomikiki · 发表于 2026-3-1 22:12

除非就是说，假设t=x+a
然后得出a=1
不过感觉这样做，过于“狡猾”啦

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