证明数列 √7，√(7-√7)，√[7-√(7+√7)]，√{7-√[7+√(7-√7)]} 收敛，并求其极限

dodonaomikiki

感觉清华本科测试题目很好！

dodonaomikiki

不仅需要计算极限，
还要首先证明其收敛。

dodonaomikiki

知乎直答，
不保证一定准确！
供评述与研究！

dodonaomikiki

说是【正确解答】，
还是需要再研读一哈！
到底准不准确，研究后再确定~~~如若错误，慢慢纠正，努力纠正过来未为晚也！

dodonaomikiki

我粗粗看啦一哈，知乎里面的应该是不对的！



清华考的好像是，根号下面加减交错进行，而不是一味的做减法！
3楼4楼要不还是保留，
或许可以用做参考？

王守恩

\(x=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}}}=\sqrt{7-y}\)

\(y=\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}}=\sqrt{7+x}=>x=y^2-7\)

\(x=\sqrt{7-y}=y^2-7\)

\(瞪眼: y=3,x=2\)

王守恩

1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, ......

\(\sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+\sqrt{41}}}}}}=2\) —— 这个"难"一点？

elim

由数学归纳法易见 \(a_1=\sqrt{7},\,a_2=\sqrt{7-\sqrt{7}},\,a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_n}}\)
且 \(2< a_n< 3.\)  于是 \(a_{n+2}-a_{n+1}=\large\frac{a_n-a_{n+1}}{(a_{n+2}+a_{n+1})(\sqrt{7+a_{n+1}}+\sqrt{7+a_n})}\)
于是 \(|a_{n+2}-a_{n+1}|\le \frac{1}{24}|a_{n+1}-a_n|\le\cdots\le\frac{1}{24^n}|a_2-a_1|\)\(\\\)
设 \(m> n\ge\small N+2,\) 则 \(|a_m-a_n| \le\displaystyle\sum_{k=n}^{m-1}|a_{k+1}-a_k|\le\sum_{k=n}^{m-1}\frac{|a_2-a_1|}{24^{k-1}}\)
\(\le\large\frac{|a_2-a_1|}{24^N(24-1)}\to 0\,\small(N\to\infty)\).  即所论序列是柯西列. \(\{a_n\}\) 收敛.
记 \(a = \lim a_n\), 据递推关系得 \([2,3]\ni a = \sqrt{7-\sqrt{7+a}},\)
\(0=a^4-14a^2-a+42=(a-2)(a+3)(a^2-x-7)\)
综上得 \(\lim a_n = 2.\;\;_\blacksquare\)

elim

王守恩 发表于 2026-4-22 13:39
1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, ......

\(\sqrt{1+\sqrt{5+\s ...

\(\sqrt{1+\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+\sqrt{41}}}}}}= 1.999973969 99432805\ldots\)

elim

由数学归纳法易见 \(a_1=\sqrt{7},\,a_2=\sqrt{7-\sqrt{7}},\,a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_n}}\)
且 \(2< a_n< 3.\)  于是 \(a_{n+2}-a_{n+1}=\large\frac{a_n-a_{n+1}}{(a_{n+2}+a_{n+1})(\sqrt{7+a_{n+1}}+\sqrt{7+a_n})}\)
于是 \(|a_{n+2}-a_{n+1}|\le \frac{1}{24}|a_{n+1}-a_n|\le\cdots\le\frac{1}{24^n}|a_2-a_1|\)\(\\\)
设 \(m> n\ge\small N+2,\) 则 \(|a_m-a_n| \le\displaystyle\sum_{k=n}^{m-1}|a_{k+1}-a_k|\le\sum_{k=n}^{m-1}\frac{|a_2-a_1|}{24^{k-1}}\)
\(\le\large\frac{|a_2-a_1|}{24^N(24-1)}\to 0\,\small(N\to\infty)\).  即所论序列是柯西列. \(\{a_n\}\) 收敛.
记 \(a = \lim a_n\), 据递推关系得 \([2,3]\ni a = \sqrt{7-\sqrt{7+a}},\)
\(0=a^4-14a^2-a+42=(a-2)(a+3)(a^2-x-7)\)
综上得 \(\lim a_n = 2.\;\;_\blacksquare\)