求 4/(8n+1)=1/x+1/y+1/z 的 t 法

蔡家雄

求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .

这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。

蔡家雄

设 120d+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

蔡氏增乘法质数：120d+49=769,  1129,  1609, 2689,  3769,  4129,  4969,  7369,  7489,  8329,  8929,  9049,  ......

蔡家雄

设 d=(30k+11)m+26k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+11,  t2= (30d+16)^2/(30k+11),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+11)*(30m+26),

蔡家雄

设 d=(15k+13)m+11k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+26,  t2= (30d+16)^2/(30k+26),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+26)*(15m+11),

蔡家雄

设 120d+49=120*11*13*17*19*23+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.


所有满足条件的 (t1, t2) 对及对应的 x, y, z,

对 1: t1 = 6566,  t2 = 154694494886,
  x  = 31870426,  y  = 270870028674960,  z  = 7114129596042509040.

对 2: t1 = 15596,  t2 = 65127215531,
  x  = 31870426,  y  = 270864057523003,  z  = 16897581376278727082.

对 3: t1 = 62846,  t2 = 16162111406,
  x  = 31870426,  y  = 270860793182728,  z  = 68090061621700798232.

对 4: t1 = 149276,  t2 = 6804335951,
  x  = 31870426,  y  = 270860169331031,  z  = 161731671518247456634.

对 5: t1 = 400526,  t2 = 2535975326,
  x  = 31870426,  y  = 270859884773656,  z  = 433945653775650533384.

对 6: t1 = 951356,  t2 = 1067659271,
  x  = 31870426,  y  = 270859786885919,  z  = 1030736212370059833946.

对 7: t1 = 1828631,  t2 = 555455996,
  x  = 31870426,  y  = 270859752739034,  z  = 1981209928926729621631.

对 8: t1 = 3833606,  t2 = 264952646,
  x  = 31870426,  y  = 270859733372144,  z  = 4153477507340806174096.

对 9: t1 = 4343486,  t2 = 233849966,
  x  = 31870426,  y  = 270859731298632,  z  = 4705901249722516346328.

对 10: t1 = 9105836,  t2 = 111546491,
  x  = 31870426,  y  = 270859723145067,  z  = 9865615711030152336618.

对 11: t1 = 17502611,  t2 = 58032716,
  x  = 31870426,  y  = 270859719577482,  z  = 18963006998072563161603.

对 12: t1 = 24432086,  t2 = 41573366,
  x  = 31870426,  y  = 270859718480192,  z  = 26470668628731740018368.

蔡家雄

设 8n+1=120*11*13*17*19*23+49 是质数，

且 t=4,

求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .


对 1: x  = 31870426,  y  = 270859715709072,  z  = 167602007905606322370210288.

对 2: x  = 31870426,  y  = 270859715709674,  z  = 70561348032229865088205291.

对 3: x  = 31870426,  y  = 270859715712824,  z  = 17510657542619340888567016

对 4: x  = 31870426,  y  = 270859715718586,  z  = 7372081137938218485969479.

对 5: x  = 31870426,  y  = 270859715735336,  z  = 2747573900358326316602104.

对 6: x  = 31870426,  y  = 270859715772058,  z  = 1156743410630843410339727.

对 7: x  = 31870426,  y  = 270859715830543,  z  = 601802542121256350015642.

对 8: x  = 31870426,  y  = 270859715964208,  z  = 287059959981490554607952.

对 9: x  = 31870426,  y  = 270859715998200,  z  = 253362111696206234101800.

对 10: x  = 31870426,  y  = 270859716315690,  z  = 120853789412947564401435.

对 11: x  = 31870426,  y  = 270859716875475,  z  = 62874892702990707352650.

对 12: x  = 31870426,  y  = 270859717337440,  z  = 45042195354260807526560.

对 13: x  = 31870426,  y  = 270859718480192,  z  = 26470668628731740018368.

对 14: x  = 31870426,  y  = 270859719577482,  z  = 18963006998072563161603.

对 15: x  = 31870426,  y  = 270859723145067,  z  = 9865615711030152336618.

对 16: x  = 31870426,  y  = 270859731298632,  z  = 4705901249722516346328.

对 17: x  = 31870426,  y  = 270859733372144,  z  = 4153477507340806174096.

对 18: x  = 31870426,  y  = 270859752739034,  z  = 1981209928926729621631.

对 19: x  = 31870426,  y  = 270859786885919,  z  = 1030736212370059833946.

对 20: x  = 31870426,  y  = 270859834691544,  z  = 616601308422077562696.

对 21: x  = 31870426,  y  = 270859884773656,  z  = 433945653775650533384.

对 22: x  = 31870426,  y  = 270860169331031,  z  = 161731671518247456634.

对 23: x  = 31870426,  y  = 270860793182728,  z  = 68090061621700798232.

对 24: x  = 31870426,  y  = 270860854545056,  z  = 64421274784141573984.

对 25: x  = 31870426,  y  = 270864057523003,  z  = 16897581376278727082.

对 26: x  = 31870426,  y  = 270866973666128,  z  = 10108484590246230832.

对 27: x  = 31870426,  y  = 270870028674960,  z  = 7114129596042509040.

对 28: x  = 31870426,  y  = 270892852448995,  z  = 2214278175918085130.

对 29: x  = 31870426,  y  = 270929184730360,  z  = 1056352891263673640.

对 30: x  = 31870426,  y  = 271176881652087,  z  = 231585056930882298.

对 31: x  = 31870426,  y  = 271302451115752,  z  = 165979281527684408.

对 32: x  = 31870426,  y  = 272881056870639,  z  = 36566061620665626.

对 33: x  = 31870426,  y  = 275097326033904,  z  = 17583679905019536.

对 34: x  = 31870426,  y  = 290206838259251,  z  = 4062895735629514.

对 35: x  = 31870426,  y  = 333024240625370,  z  = 1451034191296255.

对 36: x  = 31870426,  y  = 394161526590923,  z  = 865863025625962.

蔡家雄

设 e 是 (30d+16)^2 ≡ 11  (mod 15 ) 的 互补因子对 数，

设 g 是 (30d+16)^2 ≡ 14  (mod 15 ) 的 互补因子对 数，

设 120d+49 是质数，

则 h=2*e+g 是求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的新 t 法的解数。