求极限 lim(n→∞)(n+n^2+n^3+…+n^n)／(1^n+2^n+3^n+…+n^n)

wintex

請問數學115300

liangchuxu

求极限 lim(n→∞)(n+n^2+n^3+…+n^n)／(1^n+2^n+3^n+…+n^n)

luyuanhong

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elim

对项数不断增加的和\(a_n=\displaystyle\small\sum_{k=1}^{n}\big(\frac{k}{n}\big)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\big(1-\frac{k}{n}\big)^n\) 逐项取极限求
\(\lim a_n\)需要略作分析: 因为 \(\displaystyle\small\ln\big(1-\frac{k}{n}\big)^n=-k\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j}\big(\frac{k}{n}\big)^{j-1}< -k\)
所以 \(e^{-k}\ge\big(1-\frac{k}{n}\big)^n\to e^{-k}\,(n\to\infty). \) 令 \(\small a_{m,n}={\scriptsize\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\big(1-\frac{k}{n}\big)^n}\)
\(\small(1\le m\le n,\; a_n=a_{n,n}),\; s_m=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}e^{-k}=\frac{1-e^{-m}}{1-e^{-1}},\;s=\lim s_m=\frac{e}{e-1}.\)
对 \(a_{m,n}\le a_n\le s\) 令\(n\to\infty\) 得 \(\small s_m\le\underline{\lim}a_n\le\overline{\lim}a_n\le s.\;(\forall m)\)
\(\therefore\;\;\lim a_n =\large\frac{e}{e-1}\)

luyuanhong

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liangchuxu

elim 发表于 2026-4-29 03:22
对项数不断增加的和\(a_n=\displaystyle\small\sum_{k=1}^{n}\big(\frac{k}{n}\big)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\bi ...

谢谢提示。