趣味： \( x^3+y^3=3xy \),计算ABCD的面积

dodonaomikiki

完整题目“
1）计算正方形ABCD的面积
2） 计算长方形EFGH的最大面积  

dodonaomikiki

这个蝴蝶结，
顺时针旋转过45度感觉比较好！
这样一来，蝴蝶结的对称轴就是横轴~~~或许有利于计算！
开山拓水，做个铺垫！

dodonaomikiki

不过以上，仅仅是猜想！
不一定对~~~

dodonaomikiki

旋转之后，图形就比较端正啦~~~~~

dodonaomikiki

对于正方形，
目前只能算到这一步！
能力有限！

dodonaomikiki

还是不要进行旋转！
然后进行昏头昏脑的尝试：

\(
假设正方形中点坐标（x,x）                 \\
假设正方形边长=2a                 \\
这个时候，根据B,D两点来构造一个方程组：                 \\
x^3+(x+\sqrt{2}a)^3=3x(x+\sqrt{2}a)                 \\
x^3+(x-\sqrt{2}a)^3=3x(x-\sqrt{2}a)                 \\
进行化简，                 \\
非常容易得到：                 \\
3x^2+2a^2= 3x                \\
然后对x求导【为何这样做我也不晓得】                 \\
极易得到x=0,5                 \\
作出直线  L1               \\
接着作出直线     L2:y-1.18=-(x-0.5)            \\
与直线x=y的交点便是正方形的交点（0。84,0.84）[是个约值]                 \\
...\)

dodonaomikiki

\(
接续：                        \\
把x=0,84代入曲线方程                  \\
0,84+y^3=3 \bullet  0,  84y                \\
那么，\sqrt{2}a=1.383-0.84                  \\
=0.543                  \\
最大正方形面积S=2    \bullet     0.543 \bullet     0.543                  \\
=0.589698（约值）                  \\



...\)

dodonaomikiki

6楼，7楼的计算或许是完全错误的！
那么，也可以看看错在哪里！

dodonaomikiki

我目前的判断：6楼的D点“没有重合”，
据此估计，我的计算应该是错误的！

Ysu2008

借助 wolframalpha 解高次方程组可算得内接正方形面积精确值为 \(\frac{36}{49}\) (图中ABCD)
内接矩形面积最大值暂无精确值，数值解约为 0.919789715774  (图中EFGH)
内接等腰梯形面积最大值数值解约为 0.92521759743 （(图中灰色直线所夹区域）