a,b 为正整数，L,h 为 a,b 的最小公倍数和最大公约数，求方程 L+h+a+2b=2ab 的所有解

popo987654

请教解题思路

luyuanhong

有一组解是 a=2 ，b=4 ，这时 L=4 ，h=2 ，满足

L+h+a+2b = 4+2+2+2×4 = 16 = 2×2×4 = 2ab 。

王守恩

a,b 为正整数。L,h 为 a,b 的最小公倍数和最大公约数。求方程 L+h+a+2b=2ab 的所有解。

设 a=h*x, b=h*y。我们有 a*b=L*h。L=a*b/h=h*x*h*y/h=h*x*y。

方程 L+h+a+2b=2ab

h*x*y+h+h*x+2h*y=2h*x*h*y

x*y+1+x+2y=2h*x*y

x+2*y=(2*h-1)*x*y-1——可以有3组解。

3+2*4=(2*1-1)*3*4-1——a=3,b=4。

5+2*2=(2*1-1)*5*2-1——a=5,b=2。

1+2*2=(2*2-1)*1*2-1——a=2,b=4。

popo987654

王守恩 发表于 2026-5-16 16:10
a,b 为正整数。L,h 为 a,b 的最小公倍数和最大公约数。求方程 L+h+a+2b=2ab 的所有解。

设 a=h*x, b=h*y ...

好的，我找到思路了，谢谢

luyuanhong

楼上 王守恩 的答案正确！下面是我的详细解答过程：

王守恩

来个笨方法。

从上到下，1行1行的填。11,12,13,14,15..., 22,23,24,25..., 33,34,35..., 44,45...,

每行从左到右填。——a,b在前面没有区分,直到最后1个数(有2种填法)才区分出a,b。

2*a*b=2ab=a+b+h+L+b
2*1*1= 02 =1+1+1+1+1=05——差=3。1+1+1+1+1=05——差=3。
2*1*2= 04 =1+2+1+2+1=07——差=3。1+2+1+2+2=08——差=4。
2*1*3= 06 =1+3+1+3+1=09——差=3。1+3+1+3+3=11——差=5。
2*1*4= 08 =1+4+1+4+1=11——差=3。1+4+1+4+4=14——差=6。
2*1*5= 10 =1+5+1+5+1=13——差=3。1+5+1+5+5=17——差=7。
2*1*6= 12 =1+6+1+6+1=15——差=3。1+6+1+6+6=20——差=8。
2*1*7= 14 =1+7+1+7+1=17——差=3。1+7+1+7+7=23——差=9。
2*1*8= 16 =1+8+1+8+1=19——差=3。1+8+1+8+8=26——差=10。
2*1*9= 18 =1+9+1+9+1=21——差=3。1+9+1+9+9=29——差=11。
差是这样一串数——{3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3, 7, 3, 8, 3, 9, 3, 10, 3, 11, 3, 12, 3, 13, 3, 14, 3, 15, 3, 16, 3, 17}, ——(1)

2*2*1=04=2+1+1+02+2=08——差=4。2+1+1+02+1=07——差=3。
2*2*2=08=2+2+2+02+2=10——差=2。2+2+2+02+2=10——差=2。
2*2*3=12=2+3+1+06+2=14——差=2。2+3+1+06+3=15——差=3。
2*2*4=16=2+4+2+04+2=14——差=2。2+4+2+04+4=16——差=0。
2*2*5=20=2+5+1+10+2=20——差=0。2+4+2+10+5=23——差=3。
2*2*6=24=2+6+2+06+2=18——差=3。2+6+2+06+6=22——差=2。
2*2*7=28=2+7+1+14+2=26——差=2。2+7+1+14+7=31——差=3。
2*2*8=32=2+8+2+08+2=22——差=3。2+8+2+08+8=28——差=4。
2*2*9=36=2+9+1+18+2=32——差=4。2+9+1+18+9=39——差=3。
差是这样一串数——{4, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 0, 0, 3, 6, 2, 2, 3, 10, 4, 4, 3, 14, 6, 6, 3, 18, 8, 8, 3, 22, 10, 10, 3},——(2)

2*3*1=06=3+1+1+03+3=11——差=05。3+1+1+03+1=09——差=3。
2*3*2=12=3+2+1+06+3=15——差=03。3+2+1+06+2=14——差=2。
2*3*3=18=3+3+3+03+3=15——差=03。3+3+3+03+3=15——差=3。
2*3*4=24=3+4+1+12+3=23——差=01。3+4+1+12+4=24——差=0。
2*3*5=30=3+5+1+15+3=27——差=03。3+5+1+15+5=29——差=1。
2*3*6=36=3+6+3+06+3=21——差=15。3+6+3+06+6=24——差=12。
2*3*7=42=3+7+1+21+3=35——差=07。3+7+1+21+7=39——差=3。
2*3*8=48=3+8+1+24+3=39——差=09。3+8+1+24+8=44——差=4。
2*3*9=54=3+9+3+09+3=27——差=27。3+9+3+09+9=33——差=21。
差是这样一串数——{5, 3, 3, 2, 3, 3, 1, 0, 3, 1, 15, 12, 7, 3, 9, 4, 27, 21, 13, 6, 15, 7, 39, 30, 19, 9, 21, 10, 51, 39}, ——(3)

2*4*1=08=4+1+1+04+4=14——差=06。4+1+1+04+1=11——差=3。
2*4*2=16=4+2+2+04+4=16——差=00。4+2+2+04+2=14——差=2。
2*4*3=24=4+3+1+12+4=24——差=00。4+3+1+12+3=23——差=1。
2*4*4=32=4+4+4+04+4=20——差=12。4+4+4+04+4=20——差=12。
2*4*5=40=4+5+1+20+4=34——差=06。4+5+1+20+5=35——差=5。
2*4*6=48=4+6+2+12+4=28——差=20。4+6+2+12+6=30——差=18。
2*4*7=56=4+7+1+28+4=44——差=12。4+7+1+28+7=47——差=9。
2*4*8=64=4+8+4+08+4=28——差=36。4+8+4+08+8=32——差=32。
2*4*9=72=4+9+1+36+4=54——差=18。4+9+1+36+9=59——差=13。
差是这样一串数——{6, 3, 0, 2, 0, 1, 12, 12, 6, 5, 20, 18, 12, 9, 36, 32, 18, 13, 40, 34, 24, 17, 60, 52, 30, 21, 60, 50, 36, 25}, ——(4)

2*5*1=10=5+1+1+05+5=17——差=07。5+1+1+05+1=13——差=3。
2*5*2=20=5+2+1+10+5=23——差=03。5+2+1+10+2=20——差=0。
2*5*3=30=5+3+1+15+5=29——差=01。5+3+1+15+3=27——差=3。
2*5*4=40=5+4+1+20+5=35——差=05。5+4+1+20+4=34——差=6。
2*5*5=50=5+5+5+05+5=25——差=25。5+5+5+05+5=25——差=25。
2*5*6=60=5+6+1+30+5=47——差=13。5+6+1+30+6=48——差=12。
2*5*7=70=5+7+1+35+5=53——差=17。5+7+1+35+7=55——差=15。
2*5*8=80=5+8+1+40+5=59——差=21。5+8+1+40+8=62——差=18。
2*5*9=90=5+9+1+45+5=65——差=25。5+9+1+45+5=69——差=21。
差是这样一串数——{7, 3, 3, 0, 1, 3, 5, 6, 25, 25, 13, 12, 17, 15, 21, 18, 25, 21, 65, 60, 33, 27, 37, 30, 41, 33, 45, 36, 105, 95}, ——(5)

2*6*1= 12 =6+1+1+06+6=20——差=08。6+1+1+06+1=15——差=3。
2*6*2= 24 =6+2+2+06+6=22——差=02。6+2+2+06+2=18——差=6。
2*6*3= 36 =6+3+3+06+6=24——差=12。6+3+3+06+3=21——差=15。
2*6*4= 48 =6+4+2+12+6=30——差=18。6+4+2+12+4=28——差=20。
2*6*5= 60 =6+5+1+30+6=48——差=12。6+5+1+30+5=47——差=13。
2*6*6= 72 =6+6+6+06+6=30——差=42。6+6+6+06+6=30——差=42。
2*6*7= 84 =6+7+1+42+6=62——差=22。6+7+1+42+7=63——差=21。
2*6*8= 96 =6+8+2+24+6=46——差=50。6+8+2+24+8=48——差=48。
2*6*9=108=6+9+3+18+6=42——差=66。6+9+3+18+9=45——差=63。
差是这样一串数——{8, 3, 2, 6, 12, 15, 18, 20, 12, 13, 42, 42, 22, 21, 50, 48, 66, 63, 66, 62, 42, 37, 102, 96, 52, 45, 98, 90, 120, 111}, ——(6)
............

把这些数字串摆在一起。——“0"共出现6次。
{{3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3, 7, 3, 8, 3, 9, 3, 10, 3, 11, 3, 12, 3, 13, 3, 14, 3, 15, 3, 16, 3, 17}, ——(1)
{4, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 0, 0, 3, 6, 2, 2, 3, 10, 4, 4, 3, 14, 6, 6, 3, 18, 8, 8, 3, 22, 10, 10, 3}, ——(2)
{5, 3, 3, 2, 3, 3, 1, 0, 3, 1, 15, 12, 7, 3, 9, 4, 27, 21, 13, 6, 15, 7, 39, 30, 19, 9, 21, 10, 51, 39}, ——(3)
{6, 3, 0, 2, 0, 1, 12, 12, 6, 5, 20, 18, 12, 9, 36, 32, 18, 13, 40, 34, 24, 17, 60, 52, 30, 21, 60, 50, 36, 25}, ——(4)
{7, 3, 3, 0, 1, 3, 5, 6, 25, 25, 13, 12, 17, 15, 21, 18, 25, 21, 65, 60, 33, 27, 37, 30, 41, 33, 45, 36, 105, 95}, ——(5)
{8, 3, 2, 6, 12, 15, 18, 20, 12, 13, 42, 42, 22, 21, 50, 48, 66, 63, 66, 62, 42, 37, 102, 96, 52, 45, 98, 90, 120, 111}, ——(6)
{9, 3, 3, 2, 3, 7, 9, 12, 15, 17, 21, 22, 63, 63, 33, 32, 39, 37, 45, 42, 51, 47, 57, 52, 63, 57, 147, 140, 75, 67}, ——(7)
{10, 3, 4, 10, 4, 9, 32, 36, 18, 21, 48, 50, 32, 33, 88, 88, 46, 45, 92, 90, 60, 57, 136, 132, 74, 69, 136, 130, 88, 81}, ——(8)
{11, 3, 3, 4, 21, 27, 13, 18, 21, 25, 63, 66, 37, 39, 45, 46, 117, 117, 61, 60, 69, 67, 147, 144, 85, 81, 93, 88, 189, 183},——(9)
{12, 3, 6, 14, 6, 13, 34, 40, 60, 65, 62, 66, 42, 45, 90, 92, 60, 61, 150, 150, 78, 77, 146, 144, 96, 93, 174, 170, 230, 225}, ——(10)
{13, 3, 3, 6, 7, 15, 17, 24, 27, 33, 37, 42, 47, 51, 57, 60, 67, 69, 77, 78, 187, 187, 97, 96, 107, 105, 117, 114, 127, 123}, ——(11)
{14, 3, 8, 18, 30, 39, 52, 60, 30, 37, 96, 102, 52, 57, 132, 136, 144, 147, 144, 146, 96, 97, 228, 228, 118, 117, 212, 210, 258, 255}, ——(12)
{15, 3, 3, 8, 9, 19, 21, 30, 33, 41, 45, 52, 57, 63, 69, 74, 81, 85, 93, 96, 105, 107, 117, 118, 273, 273, 141, 140, 153, 151}, ——(13)
{16, 3, 10, 22, 10, 21, 50, 60, 36, 45, 90, 98, 140, 147, 130, 136, 88, 93, 170, 174, 114, 117, 210, 212, 140, 141, 322, 322, 166, 165}, ——(14)
{17, 3, 3, 10, 39, 51, 25, 36, 95, 105, 111, 120, 67, 75, 81, 88, 183, 189, 225, 230, 123, 127, 255, 258, 151, 153, 165, 166, 375, 375}, ——(15)
{18, 3, 12, 26, 12, 25, 72, 84, 42, 53, 104, 114, 72, 81, 192, 200, 102, 109, 196, 202, 132, 137, 288, 292, 162, 165, 288, 290, 192, 193}, ——(16)
{19, 3, 3, 12, 13, 27, 29, 42, 45, 57, 61, 72, 77, 87, 93, 102, 109, 117, 125, 132, 141, 147, 157, 162, 173, 177, 189, 192, 205, 207}, ——(17)
{20, 3, 14, 30, 48, 63, 66, 80, 48, 61, 150, 162, 82, 93, 170, 180, 252, 261, 222, 230, 150, 157, 342, 348, 184, 189, 326, 330, 396, 399}, ——(18)
{21, 3, 3, 14, 15, 31, 33, 48, 51, 65, 69, 82, 87, 99, 105, 116, 123, 133, 141, 150, 159, 167, 177, 184, 195, 201, 213, 218, 231, 235}, ——(19)
{22, 3, 16, 34, 16, 33, 92, 108, 130, 145, 132, 146, 92, 105, 228, 240, 130, 141, 320, 330, 168, 177, 364, 372, 206, 213, 364, 370, 480, 485},——(20)
............

看似乱七八糟的 20 个(可以更多)数字串——OEIS可是没有的！—— 各位好友！试试来个通项公式？

王守恩

接楼上。这些乱七八糟的 20 个(可以更多)数字串——OEIS可是没有的！—— 可以有一个简单的通项公式。

1. Table[b = Ceiling[n/2]; d = a + b + GCD[a, b] + LCM[a, b] - 2 a b; If[Mod[n - 1, 2] == 0, Abs[d + a], Abs[d + b]], {a, 20}, {n, 30}]

复制代码

{{3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3, 7, 3, 8, 3, 9, 3, 10, 3, 11, 3, 12, 3, 13, 3, 14, 3, 15, 3, 16, 3, 17}, —(1)—就是这串数—OEIS就感冒了！
{4, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 0, 0, 3, 6, 2, 2, 3, 10, 4, 4, 3, 14, 6, 6, 3, 18, 8, 8, 3, 22, 10, 10, 3}, ——(2)——后面这些数字串——OEIS根本没有！！！
{5, 3, 3, 2, 3, 3, 1, 0, 3, 1, 15, 12, 7, 3, 9, 4, 27, 21, 13, 6, 15, 7, 39, 30, 19, 9, 21, 10, 51, 39}, ——(3)——通过做题——我们留下的是不变的方法！！！！！
{6, 3, 0, 2, 0, 1, 12, 12, 6, 5, 20, 18, 12, 9, 36, 32, 18, 13, 40, 34, 24, 17, 60, 52, 30, 21, 60, 50, 36, 25}, ——(4)
{7, 3, 3, 0, 1, 3, 5, 6, 25, 25, 13, 12, 17, 15, 21, 18, 25, 21, 65, 60, 33, 27, 37, 30, 41, 33, 45, 36, 105, 95}, ——(5)
{8, 3, 2, 6, 12, 15, 18, 20, 12, 13, 42, 42, 22, 21, 50, 48, 66, 63, 66, 62, 42, 37, 102, 96, 52, 45, 98, 90, 120, 111}, ——(6)
{9, 3, 3, 2, 3, 7, 9, 12, 15, 17, 21, 22, 63, 63, 33, 32, 39, 37, 45, 42, 51, 47, 57, 52, 63, 57, 147, 140, 75, 67}, ——(7)
{10, 3, 4, 10, 4, 9, 32, 36, 18, 21, 48, 50, 32, 33, 88, 88, 46, 45, 92, 90, 60, 57, 136, 132, 74, 69, 136, 130, 88, 81}, ——(8)
{11, 3, 3, 4, 21, 27, 13, 18, 21, 25, 63, 66, 37, 39, 45, 46, 117, 117, 61, 60, 69, 67, 147, 144, 85, 81, 93, 88, 189, 183},——(9)
{12, 3, 6, 14, 6, 13, 34, 40, 60, 65, 62, 66, 42, 45, 90, 92, 60, 61, 150, 150, 78, 77, 146, 144, 96, 93, 174, 170, 230, 225}, ——(10)
{13, 3, 3, 6, 7, 15, 17, 24, 27, 33, 37, 42, 47, 51, 57, 60, 67, 69, 77, 78, 187, 187, 97, 96, 107, 105, 117, 114, 127, 123}, ——(11)
{14, 3, 8, 18, 30, 39, 52, 60, 30, 37, 96, 102, 52, 57, 132, 136, 144, 147, 144, 146, 96, 97, 228, 228, 118, 117, 212, 210, 258, 255}, ——(12)
{15, 3, 3, 8, 9, 19, 21, 30, 33, 41, 45, 52, 57, 63, 69, 74, 81, 85, 93, 96, 105, 107, 117, 118, 273, 273, 141, 140, 153, 151}, ——(13)
{16, 3, 10, 22, 10, 21, 50, 60, 36, 45, 90, 98, 140, 147, 130, 136, 88, 93, 170, 174, 114, 117, 210, 212, 140, 141, 322, 322, 166, 165}, ——(14)
{17, 3, 3, 10, 39, 51, 25, 36, 95, 105, 111, 120, 67, 75, 81, 88, 183, 189, 225, 230, 123, 127, 255, 258, 151, 153, 165, 166, 375, 375}, ——(15)
{18, 3, 12, 26, 12, 25, 72, 84, 42, 53, 104, 114, 72, 81, 192, 200, 102, 109, 196, 202, 132, 137, 288, 292, 162, 165, 288, 290, 192, 193}, ——(16)
{19, 3, 3, 12, 13, 27, 29, 42, 45, 57, 61, 72, 77, 87, 93, 102, 109, 117, 125, 132, 141, 147, 157, 162, 173, 177, 189, 192, 205, 207}, ——(17)
{20, 3, 14, 30, 48, 63, 66, 80, 48, 61, 150, 162, 82, 93, 170, 180, 252, 261, 222, 230, 150, 157, 342, 348, 184, 189, 326, 330, 396, 399}, ——(18)
{21, 3, 3, 14, 15, 31, 33, 48, 51, 65, 69, 82, 87, 99, 105, 116, 123, 133, 141, 150, 159, 167, 177, 184, 195, 201, 213, 218, 231, 235}, ——(19)
{22, 3, 16, 34, 16, 33, 92, 108, 130, 145, 132, 146, 92, 105, 228, 240, 130, 141, 320, 330, 168, 177, 364, 372, 206, 213, 364, 370, 480, 485},——(20)
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