ΔABC 是边长 1 正三角形，D∈AB，E∈AC，BD=AE，CD 与 BE 交于 M，求 AM+DM 的最小值

luyuanhong

网友 颜亚宁 给我发来一封邮件，说有一道几何题始终无法解决。

现在我将此题发表在下面，欢迎大家一起来想想此题如何解答。

王守恩

∠DAM=a,   ∠DBM=b,   DM = Sin[Pi/3 - b] Sin[a]/(Sin[Pi/3 + b] Sin[Pi/3 + a + b]),   AM = Sin[Pi/3 - b] Sin[Pi/3 + b]/(Sin[Pi/3 + b] Sin[Pi/3 + a + b]),   我们有"角格点"公式。

1. NMinimize[{Sin[Pi/3 - b] Sin[a]/(Sin[Pi/3 + b] Sin[Pi/3 + a + b]) + Sin[Pi/3 - b] Sin[Pi/3 + b]/(Sin[Pi/3 + b] Sin[Pi/3 + a + b]),
   
2. Sin[a] Sin[Pi/3 - b] Sin[Pi/3 - b]/(Sin[b] Sin[b] Sin[Pi/3 - a]) == 1, 1 > b > a > 0}, {a, b}]

复制代码

{0.780343, {a -> 0.205516, b -> 0.344759}}

luyuanhong

王守恩

这题目还真没有精确解。——谢谢陆老师！学了一招！

∠DAM=a,   ∠DBM=b,   DM=Sin[ b]Sin[ b]/(Sin[Pi/3]Sin[Pi/3 + b]),   AM=Sin[ b]/Sin[a + b],   我们有"角格点"公式。

1. NMinimize[{Sin[b]Sin[b]/(Sin[Pi/3]Sin[Pi/3 + b]) + Sin[b]/Sin[a + b], Sin[a]/Sin[b]^2 == Sin[Pi/3 - a]/Sin[Pi/3 - b]^2, 1 > b > a > 0}, {a, b}]

复制代码

{0.780343, {a -> 0.205491, b -> 0.344741}}

luyuanhong

网友 颜亚宁 看了我上面的解答后，又给我发来了邮件，下面是他的帖子：

luyuanhong

luyuanhong

陆教授： 您好！

       谢谢您百忙之中将帖子的内容转发给了我。看到您对疑虑的解答后，我感到心里的石头落下了。

从您的解惑中，我学到了很多，明白了几何题目求高次代数方程时应该如何看待它的解。

继而学到了“寻找精确解是否可能”的一种判定方法。这对我以后再解这方面的题非常有帮助。

       在“直角三角形求AM+CM最小值”那道题里，我只看到了六次方程的高次数而退却，却没有想想因式分解

这一很基本的手段，导致我举了一个不恰当的例子。这也反映出我对高斯的定理知道得不透彻。

       求导法和解析几何法，两种方法的求解居然是相通的，我感觉这是很美妙、深奥的事情。

       非常感谢您多次的耐心指导和热心帮助。有了您和数学中国论坛，我感到我能在数学这个爱好

上走得更远、更远。屡次给您和大家添麻烦了。

       祝您工作顺利，周末愉快！

                                         此致
敬礼！

颜亚宁

2026年5月22日中午