在 ΔABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=4，M 在 ΔABC 中，满足 BM=3，求 AM+CM 的最小值

luyuanhong

下面是网友 颜亚宁 发来的一个帖子：

luyuanhong

王守恩

代码1——NMinimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}]——数值解——看一眼答案没问题。
{6.40812, {a -> 0.683274}}。

代码2——N[Minimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}], 50]——数值解——不能保证所有数值都是正确的。
{6.4081158733356429998799603593363854101803720555342,
{a -> 0.68327400694824637727579985357828565222488972322737}}。

代码3——Minimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}] // FullSimplify——方程真身。
{Root[936038025 - 146565594 #^2 + 6807361 #^4 - 108800 #^6 + 400 #^8& , 7, 0],
{a -> 2 ArcTan[Root[5 + 24 # - 120 #^2 + 24 #^3 + 35 #^4& , 3, 0]]}}。

代码4——Minimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}] // ToRadicals——所谓根式解(含三角函数)——1堆乱码——但数据是正确的。
{Sqrt[25 - 24 Cos[2 ArcTan[6/35 - 1/35 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))]
+ 1/2 Sqrt[5888/1225 - (2 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/(35 3^(2/3)) - 2462/(35 (3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3)) - 81528/(1225 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 +
I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))])]]]] + \[Sqrt](2 (17 + 15 Sin[2 ArcTan[6/35 - 1/35 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 +
I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))] + 1/2 Sqrt[5888/1225 - (2 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/(35 3^(2/3)) - 2462/(35 (3 (-14580 +
I Sqrt[5383651773]))^(1/3)) - 81528/(1225 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))])]]])),
{a -> -2 ArcTan[6/35 - 1/35 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))] + 1/2 Sqrt[5888/1225 - (2 (-14580 +
I Sqrt[5383651773])^(1/3))/(35 3^(2/3)) - 2462/(35 (3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3)) - 81528/(1225 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 +
I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))])]]}}。

代码5——Minimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}] // FullSimplify // ToRadicals——所谓根式解————1堆乱码——但数据是正确的。
{\[Sqrt](68 + 1/40 Sqrt[1/3 (8580478 + 2994136422721/(795971020631654881 + 69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3) + (795971020631654881 +
69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3))] - 1/2 \[Sqrt](4290239/300 - 2994136422721/(1200 (795971020631654881 + 69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3)) - (795971020631654881 +
69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3)/1200 + 113473449/(5 Sqrt[1/3 (8580478 + 2994136422721/(795971020631654881 +
69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3) + (795971020631654881 + 69772126978080 I Sqrt[5383651773])^(1/3))]))),
{a -> -2 ArcTan[6/35 - 1/35 Sqrt[1/2 (1472 + (35 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))] + 1/2 Sqrt[
5888/1225 - (2 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/(35 3^(2/3)) - 2462/(35 (3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3)) - 81528/(1225 Sqrt[
1/2 (1472 + (35 (-14580 + I Sqrt[5383651773])^(1/3))/3^(2/3) + 43085/(3 (-14580 + I Sqrt[5383651773]))^(1/3))])]]}}。

代码6——{m0, a0} = Minimize[{Sqrt[3^2 + 5^2 - 2*3*5 Sin[a]] + Sqrt[3^2 + 4^2 - 2*3*4 Cos[a]], 1 > a > 0}, {a}]; {N[RootReduce[m0], 50], N[a /. a0, 50]}——数值解。保证所有数值都是正确的。
{6.4081158733356429998799603593363854101803720555342,
0.68327400694824637727579985357828565222488972322737}。

luyuanhong

陆教授： 您好！

       谢谢您百忙之中将帖子的内容转发给了我。看到您对疑虑的解答后，我感到心里的石头落下了。

从您的解惑中，我学到了很多，明白了几何题目求高次代数方程时应该如何看待它的解。

继而学到了“寻找精确解是否可能”的一种判定方法。这对我以后再解这方面的题非常有帮助。

       在“直角三角形求AM+CM最小值”那道题里，我只看到了六次方程的高次数而退却，却没有想想因式分解

这一很基本的手段，导致我举了一个不恰当的例子。这也反映出我对高斯的定理知道得不透彻。

       求导法和解析几何法，两种方法的求解居然是相通的，我感觉这是很美妙、深奥的事情。

       非常感谢您多次的耐心指导和热心帮助。有了您和数学中国论坛，我感到我能在数学这个爱好

上走得更远、更远。屡次给您和大家添麻烦了。

       祝您工作顺利，周末愉快！

                                         此致
敬礼！

颜亚宁

2026年5月22日中午