完备集合的这两种定义等价吗？

fm1134

一般的《实变与泛函》教科书中，对“完备集合”这一概念有两种定义。
第一种定义是“一个集合如果和它的导集（全体聚点所成的集合）相等，则称为完备集”，这个定义等价于“完备集是没有孤立点的闭集。”
第二种定义是“如果一个集合中的任意一个基本点列（即：柯西点列）都收敛于该集合中的某一点，则该集合称为完备集。”
这两种定义的截图如图所示。
这两种定义等价吗？

liangchuxu

据我所知，完备集的定义与其具体度量空间关联。

fm1134

liangchuxu 发表于 2026-5-29 06:53
据我所知，完备集的定义与其具体度量空间关联。

从这两种定义出发，都可以得到“有理数集不完备，而实数集完备”的结论来。
因此，很容易让人怀疑这两种定义会不会根本就是一回事？即：这两种定义是等价的？