D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

Ysu2008

（要求纯几何证明）

王守恩

添条线——DE, E在BC上, \(BE=BD=\sin80^\circ,DE=\sin20^\circ,CE=AD=\frac{\sin(80^\circ)\sin(20^\circ)}{\sin(40^\circ+C)}\)

正弦定理。\(\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(C)}=\frac{\sin(80^\circ)\sin(20^\circ)/\sin(40^\circ+C)}{\sin(80^\circ-C)}\)

整理：\(\frac{\sin(80^\circ)}{\sin(40^\circ+C)}=\frac{\sin(80^\circ-C)}{\sin(C)},\ C=40^\circ\)——瞪眼

liangchuxu

D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

Ysu2008

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

帅哥，\(\angle AGC=80^{\circ}-\theta+\angle C=60^{\circ}+\theta=\angle AGB\) 这步没看明白怎么来的，能否再说细一点？

王守恩

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

谢谢 liangchuxu！有这个图就简单了！——求角度用万能公式——只要你胆子够大可以把“sin”去掉！

\(1=\frac{\sin∠DBA\sin∠DCB\sin∠DEC\sin∠DAE}{\sin∠DBC\sin∠DCE\sin∠DEA\sin∠DAB}=\frac{\sin(20^\circ)\sin(C)\sin(80^\circ)\sin(10^\circ+C/2)}{\sin(20^\circ)\sin(80^\circ-C)\sin(10^\circ+C/2)\sin(40^\circ+C)}=\frac{\sin(C)\sin(80^\circ)}{\sin(80^\circ-C)\sin(40^\circ+C)}\ \ \ C=40^\circ\)——瞪眼

前面的过程——“搜索”是不会有的。就是到最后一步“软件”也计算不了——必须大胆——瞪眼

1. Solve[{1 == (Sin[C \[Pi]/180] Sin[80 \[Pi]/180])/(Sin[(80 - C) \[Pi]/180] Sin[(40 + C) \[Pi]/180]), 60 > C > 0}, {C}] // FullSimplify // ToRadicals

复制代码

{{C -> (360 ArcTan[Root[{Sec[Rational[1, 18] Pi] ((-8) Sin[Rational[2, 9] Pi] # (-1 + #^2) + (1 + #^2) (1 - 8 Cos[Rational[1, 18] Pi] # + #^2)
+ 2 Cos[Rational[2, 9] Pi] (1 - 6 #^2 + #^4))& , 0.36397023426620234154427180328639224172`15.640594375001886}]])\/\[Pi]}}

王守恩

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

谢谢 liangchuxu！这个图可以这样解！

\(AD=DE=\sin20^\circ,BD=\sin(40^\circ+C),CD=\frac{\sin(20^\circ)\sin(40^\circ+C)}{\sin(C)}\)

正弦定理。\(\frac{\sin(20^\circ)}{\sin(80^\circ-C)}=\frac{\sin(20^\circ)\sin(40^\circ+C)/\sin(C)}{\sin(80^\circ)}\)

整理：\(\frac{\sin(80^\circ)}{\sin(40^\circ+C)}=\frac{\sin(80^\circ-C)}{\sin(C)},\ C=40^\circ\)

Ysu2008

王守恩 发表于 2026-5-26 00:06
谢谢 liangchuxu！这个图可以这样解！

\(AD=DE=\sin20^\circ,BD=\sin(40^\circ+C),CD=\frac{\sin(20^\ ...

你这 \(AD=\sin20^{\circ}\) 显然是错的。因为图形可以放大缩小，角度不变，线段长度会变。

ataorj

如图A,H,G,I,E都是圆D六等分点,令∠ABD=CBD=20°,则e=80°,d=20°,BD=BF,a=c=40,
CF=FD=DE=AD,DF//EC,b=40°

王守恩

liangchuxu 发表于 2026-5-24 20:19
D 是 ΔABC 中 AC 上一点，已知 ∠ABD=∠CBD=20°，BD+AD=BC ，求证 ∠C=40°

谢谢 liangchuxu！ 延长BD至E,DE=AD——这是万能的方法。

题目1——已知 ∠ABD=∠CBD=20°
\(1=\frac{\sin∠DBA\sin∠DCB\sin∠DEC\sin∠DAE}{\sin∠DBC\sin∠DCE\sin∠DEA\sin∠DAB}=\frac{\sin(20^\circ)\sin(C)\sin(80^\circ)\sin(10^\circ+C/2)}{\sin(20^\circ)\sin(80^\circ-C)\sin(10^\circ+C/2)\sin(140^\circ-C)}=\frac{\sin(C)\sin(80^\circ)}{\sin(80^\circ-C)\sin(140^\circ-C)}\ \ \ C=40^\circ\)

题目2——已知 ∠ABD=∠CBD=36°
\(1=\frac{\sin∠DBA\sin∠DCB\sin∠DEC\sin∠DAE}{\sin∠DBC\sin∠DCE\sin∠DEA\sin∠DAB}=\frac{\sin(36^\circ)\sin(C)\sin(72^\circ)\sin(18^\circ+C/2)}{\sin(36^\circ)\sin(72^\circ-C)\sin(18^\circ+C/2)\sin(108^\circ-C)}=\frac{\sin(C)\sin(72^\circ)}{\sin(72^\circ-C)\sin(108^\circ-C)}\ \ \ C=36^\circ\)

36°——软件会这样。
{{C -> (360 ArcTan[Sqrt[10 + 2 Sqrt[5]]/(5 + Sqrt[5]) + 1/Sqrt[2/(1 + 20/(5 + Sqrt[5])^2 + (4 Sqrt[5])/(5 + Sqrt[5])^2 + 11/(5 + Sqrt[5]) - Sqrt[5]/(5 + Sqrt[5]))] - 1/2 Sqrt[-2 - 40/(5 + Sqrt[5])^2 - (8 Sqrt[5])/(5
+ Sqrt[5])^2 - 22/(5 + Sqrt[5]) + (2 Sqrt[5])/(5 + Sqrt[5]) - (2 (-22 + 2 Sqrt[5]))/(5 + Sqrt[5]) + (12 (10 + 2 Sqrt[5]))/(5 + Sqrt[5])^2 + ((32 Sqrt[10 + 2 Sqrt[5]])/(5 + Sqrt[5]) - (4 Sqrt[10 + 2 Sqrt[5]] ((4 (-22
+ 2 Sqrt[5]))/(5 + Sqrt[5]) - (16 (10 + 2 Sqrt[5]))/(5 + Sqrt[5])^2))/(5 + Sqrt[5]))/(4 Sqrt[2 (1 + 20/(5 + Sqrt[5])^2 + (4 Sqrt[5])/(5 + Sqrt[5])^2 + 11/(5 + Sqrt[5]) - Sqrt[5]/(5 + Sqrt[5]))])]])/\[Pi]}}

Ysu2008

ataorj 发表于 2026-5-26 19:54
如图A,H,G,I,E都是圆D六等分点,令∠ABD=CBD=20°,则e=80°,d=20°,BD=BF,a=c=40,
CF=FD=DE=AD,DF//EC,b=40 ...

∠ADH = 60° 咋来的？