分享一道代数证明好题

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原创  考研竞赛数学娱乐 e 族  2026 年 2 月 27 日 19:31  广东





考研竞赛数学娱乐 e 族

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在△ABC中，若(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=3，
显然，有(cosA)^2=(cosB)^2=(cosC)^2=1.
这是因为，如果(cosA)^2＜1，(cosB)^2＜1和(cosC)^2＜1
中有一个成立，则(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2＜3.
这与(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=3矛盾.
∴ cosA=cosB=cosC=1或-1. 根据对称性，不妨取
cosA=cosB=1，cosC=-1，此为退化成一线段的三角形,
即A=B=0，C=π.
∴ cosA+cosB+cosC=1.