2026 年高考题：用 Taylor 级数前两项求方程 cosx=x 的近似解

xfhaoym

能否用泰劳级数前二项计算？cosx=1-x^2/2=x

liangchuxu

求出x=0.732，近似解。精确解在0.739附近。作为初始值，运用牛顿迭代。

lihp2020

这个东西没法用牛顿迭代吧 以前 我也分析过
牛顿迭代 求sqrt（5）~=  2.2   ->2.2^2=4.84 5-4.84 =0.16 是Dy 这个Dy 是可以准确算出来的   就可以Dy
但是 sin cos  本来就不能准确删除来
cosX-X=0   第一次算出近似值 X=0.73   Dy=cos.073-0.73= 也没法算  F'(0.73)=-sin(0.73)-1 也没法准确计算。。

当然是不是 我才疏学浅了  我以前确实不会
如果谁会  比如手搓  这个方程的解  精确到小数点后5位左右 （用牛顿迭代哈） 如果泰勒展开 取前 10项  我猜进度肯定能到小数点后5位

luyuanhong

求方程 cosx=x 的近似解

令 x(1)=0 ，用公式  x(n+1)=cos x(n) ，n=1,2,…  逐步迭代。

可得到下面一系列近似值：

n           x(n)

1         0.000000000
2         1.000000000
3         0.540302306
4         0.857553216
5         0.654289790
6         0.793480359
7         0.701368774
8         0.763959683
9         0.722102425
10        0.750417762
11        0.731404042
12        0.744237355
13        0.735604740
14        0.741425087
15        0.737506891
16        0.740147336
17        0.738369204
18        0.739567202
19        0.738760320
20        0.739303892
21        0.738937757
22        0.739184400
23        0.739018262
24        0.739130177
25        0.739054791
26        0.739105572
27        0.739071365
28        0.739094407
29        0.739078886
30        0.739089341
31        0.739082299
32        0.739087043
33        0.739083847
34        0.739086000
35        0.739084550
36        0.739085526
37        0.739084868
38        0.739085312
39        0.739085013
40        0.739085214

可以看到，方程 cosx=x 的解趋近于 x=0.739085… 。

xfhaoym

谢谢陆老师。我用手机中的科学计算器把x=0.739085013代入捍出：0.999999......。看来手机 上的计算器也靠不住。

xfhaoym

谢谢陆老师。我用手机中的科学计算器把x=0.739085013代入捍出：0.999999......。看来手机 上的计算器也靠不住。

ataorj

手机上的输入是度数，弧度化为度数才行，约*57才行

王守恩

ataorj 发表于 2026-6-17 13:54
手机上的输入是度数，弧度化为度数才行，约*57才行

从简单想起。——主帖是5。

1,FindRoot[Sin[x \[Pi]/180] == Cos[x \[Pi]/180], {x, 1}, WorkingPrecision -> 50]
{x -> 45.000000000000000000000000000000000000000000000000}

2, FindRoot[Sin[x \[Pi]/90] == Cos[x \[Pi]/360], {x, 1}, WorkingPrecision -> 50]
{x -> 36.000000000000000000000000000000000000000000000000}

3, FindRoot[Sin[x \[Pi]/90] == Cos[x \[Pi]/180], {x, 1}, WorkingPrecision -> 50]
{x -> 30.000000000000000000000000000000000000000000000000}

4, FindRoot[Cos[x \[Pi]/180] == x \[Pi]/180, {x, 1}, WorkingPrecision -> 50]
{x -> 42.346458834092919049353117798177004581194609109322}

5, FindRoot[Cos[x] == x, {x, 1}, WorkingPrecision -> 50]
{x -> 0.73908513321516064165531208767387340401341175890076}

6, Table[FindRoot[Cos[x] == x^a, {x, 1}, WorkingPrecision -> 10], {a, 1,  9}]
{{x -> 0.7390851334}, {x -> 0.8241323123}, {x -> 0.8654740331}, {x -> 0.8905527097}, {x -> 0.9075503268}, {x -> 0.9198873738}, {x -> 0.9292731041}, {x -> 0.9366645000}, {x -> 0.9426418819}}

7, Table[FindRoot[Sin[x] == x^a, {x, 1}, WorkingPrecision -> 10], {a, 1, 9}]
{x -> 0.00002561146334}, {x -> 0.8767262154}, {x -> 0.9286263087}, {x -> 0.9496166887}, {x -> 0.9610369436}, {x -> 0.9682278181}, {x -> 0.9731746200}, {x -> 0.9767870435}, {x -> 0.9795412514}}

8, Table[FindRoot[Sin[x] == x^a, {x, 0}, WorkingPrecision -> 10], {a, 1, 9}]
{{x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 0}}

elim

介绍这题的牛顿迭代算法
令 \(f(x)=x-\cos x\), 求 \(f(x)=0\) 的根.
牛顿迭代一般公式是 \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f '(x_n)}\).
具体到本题就是 \(x_{n+1}=x_n+\large\frac{\cos(x_n)-x_n}{1+\sin(x_n)}\)
下面用 windows 中 command app 下的 gp 数学计算软件：



设定数值计算精度为 100 位有效数字
定义 g(x)=x+(cos(x)-x)/(1+sin(x)), 取初始值 x = 0.5
迭代 6 次 得到 x=cos x 的解是
\(x = 0.7390851332151606416553120876738734040134117589\ldots\)
这个精度对目前人类的任何应用都足够了.

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。