手工计算：2^π

xfhaoym

中学生手工计算：2^π  不用任何工具。精确到0.001.  怎么计算？

ataorj

2^pi=8.8249778...
<pi时，2^3.1415=8.8244110...
>pi时，2^3.141593=8.8249799...
由<和>可知8.824是有效数字，否则8.823<前者，8.825>后者

ataorj

小数可化为整数除的形式，然后是整数的乘方和开方问题。
开方有规律，需要研究2和3来总结，再扩展

liangchuxu

手工算，小数位数不能多。主要是方法

xfhaoym

中学生可以用（a+b)^n展开
对于2^π,可以写成（1+1）^π.展开后取前四项就行了。

ataorj

这种题目其实可能永远是两个答案，本题
8.824和8.825精度在0.001内，但是后者比前者精度更高。前者小于真实值，后者大于。

ataorj

正数范围内ai给了这个通用公式：
对m^n,m以2为例，n(以3.1415为例)分为整数3和小数0.1415部分，小数先化为某精度二进制(末尾为1)：
0.00100100001
上边忽略掉开头的“0.”，随后先记住0和1的总个数11，0替换为“√(”，1替换为“√(m”，注：m这里即2，最后用11个“)”完成：
k=√(√(√(2√(√(√(2√(√(√(√(√(2)))))))))))
m^n=2^3.1415=2^3*2^0.1415=8k

手机上计算器上两种绝对含义等价的输入，但是后者精度高许多
8√(√(√(2(√(√(√(2(√(√(√(√(√2))))))))))=
8.8220459895154190274130610599347716038363
8×2^(1÷8+1÷64+1÷1,024)=8.8250323231240037005852974374136574253607

ai说这个算法效率低下，电脑内不这样计算。

ataorj

二进制那个后面多了个0，11应该是10（这时最后那个1算是四舍五入入来的），2^10这才对应1024
两个算式结果完全相同，二进制那个适合手算，需要10个开平方和3个乘法。

lihp2020

2^π  由于π也是一个 近似数  要求精确到0.001  我们默认要多取一些精确度 后面运算还要再取精确度的地方 所以先简单看看 在扩大精确度计算

2^π =2^(100π/100)
记2^(1/100)=1+a  明显 可以知道a=0.00695555（先精确到这 后面大概看看 ）
这个a 理论上通过牛顿迭代 可以精确到很多位 先不考虑
a=0.00695555  1/a 约等于143.88 (主要知道一个数量 那个*a就在1 的附近)

现在变成了 (1+a)^314.15926（π先写到3.1415926）
=1+314.15926* a +314.15926*313.15926/2*a^2
+314.15926*313.15926/（2*3）*a^3
+
+…
其中通项  314 *313*3/(2*3.4.4)*a^n 如果要精确到万分之1  
314*a\approx2  前后相差 每一项都是2  除以的部分 就要 8！=40320
也就是大概算到前8项 的大概值才256/40320 才到0.006左右
也就是算的话 至少算到10项吧  
想想第10项 都是300多*0.0695 再除以10!  每次都有误差 会不会误差扩大很多？
也不知道 大概这个部分大概用计算机算了一下
1
+2.185134733
+2.379807548
+1.722364876
+0.931914897
+0.402086375
+0.144104891
+0.044124953
+0.011783824
+0.002788171
+0.000591799
+0.000113818
=8.82481588
与实际结果 8.24977 相差也不大了
但是经过a=0.006955 数据结果 只有8.23也就是 a精确度也要求有点高才可以
而且都是舍尾操作 明显结果偏小
也就是 如果要计算这个的结果 b=0.006955 写到精确到小点后10位？
π也要取到教多的位数
但是 这个确实只有小数加减乘除 理论上能很精确
其中二项式定理的C（n，m）一个变成小数  其实不管 直接当小数算 是没得问题的
唯一不精确的就是求b  个人认为牛顿迭代法 求2^0.5都能迭代几次精确到小数点后几位
2^0.0001多几次迭代应该也能精确到好多
由于有放缩法 这样的结果是要偏小的
偏大求 就是 b 最后一位+1 π最后一位+1 二项式最后一项直接*2(可以证明 后面的一点小于前一项的一半)

王守恩

\(8, 9, \frac{44}{5}, \frac{53}{6}, \frac{150}{17}, \frac{353}{40}, \frac{9681}{1097}, \frac{10034}{1137}, \frac{39783}{4508}, \frac{169166}{19169}, \frac{208949}{23677}, \frac{587064}{66523}, \frac{796013}{90200},
\frac{3771116}{427323}, \frac{30964941}{3508784}, \frac{189560762}{21480027}, \frac{789207989}{89428892}, \frac{4924808696}{558053379}, \frac{10638825381}{1205535650}, \frac{36841284839}{4174660329}\)

Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[2^\[Pi], n]], {n, 20}]

还有更好的方法——《e 小数部分的误差分数》——谢谢 uk702！！！