【不服来战】总是存在n^3个连续整数的立方和等于一个立方数（加注：n不是3的倍数...

风花飘飘

王守恩 发表于 2018-5-31 19:53
总是存在n^3个连续整数的立方和等于一个立方数

x不是整数，结论也是成立的，恒等式嘛！
n=3
x=-10/3
(-10/3+1)^3+(-10/3+2)^3+(-10/3+3)^3+……+(-10/3+27)^3=85184=44^3

((-10/3)+1)^3+((-10/3)+2)^3+((-10/3)+3)^3+((-10/3)+4)^3+((-10/3)+5)^3+((-10/3)+6)^3+((-10/3)+7)^3+((-10/3)+8)^3+((-10/3)+9)^3+((-10/3)+10)^3+((-10/3)+11)^3+((-10/3)+12)^3+((-10/3)+13)^3+((-10/3)+14)^3+((-10/3)+15)^3+((-10/3)+16)^3+((-10/3)+17)^3+((-10/3)+18)^3+((-10/3)+19)^3+((-10/3)+20)^3+((-10/3)+21)^3+((-10/3)+22)^3+((-10/3)+23)^3+((-10/3)+24)^3+((-10/3)+25)^3+((-10/3)+26)^3+((-10/3)+27)^3
=85184
=44^3

王守恩

风花飘飘 发表于 2018-6-2 16:14
x不是整数，结论也是成立的，恒等式嘛！
n=3
x=-10/3

1，x不是整数，结论是成立(恒等式)，但：
2，回归我们的题目：n^3个连续整数的立方和等于一个立方数
3，x必须是整数(可以是负数)，才能有 n^3 个连续整数！
4，往前走一走。找几串差不多(3个数，连续，整数)的，可以有吗？
5×6×7+6×7×8+7×8×9+8×9×10+9×10×11+10×11×12=15×16×17

风花飘飘

1万亿个连续整数的立方和等于一个立方数：

n=10000；n^3=1万亿

X=(10000^4-3*10000^3-2*10000^2-2)/6=1666166633333333 ；

Y=(10000*(10000^2-1)*(10000^2+2))/6=16666666833333330000

(X+1)^3+(X+2)^3+(X+3)^3+……+(x+1万亿)^3=Y^3

附：elim的证明计算如下
  
补充：n一般不是3的倍数。




      
8万亿个连续整数的立方和等于一个立方数：

n=20000；n^3=8万亿

X=(20000^4-3*20000^3-2*20000^2-2)/6=26662666533333333 （17位）；
      
Y=(20000*(20000^2-1)*(20000^2+2))/6 = 533333334666666660000（21位）

(X+1)^3+(X+2)^3+(X+3)^3+……+(x+8万亿)^3=Y^3
      
= 151703704841481478637037010962962998518518696296296000000000000（63位）

问一句：63位的数有多大？

王守恩

elim 发表于 2018-5-31 22:16

回味一下，还是蛮有意思的。

王守恩

elim 发表于 2018-5-31 22:16

，往前走一走。找几串差不多(3个数，连续，整数)的，可以有吗？
5×6×7+6×7×8+7×8×9+8×9×10+9×10×11+10×11×12=15×16×17

风花飘飘

;P;P;P;P;P;P

王守恩

elim 发表于 2018-5-31 22:16

\(1^3+\cdots+m^3=\frac{m^2(m+1)^2}{4},\ \ x=\frac{n^4-3n^3-2n^2-2}{6}\)

\(1^3+\cdots+x^3+(x+1)^3+\cdots+(x+n^3)^3=\frac{(x+n^3)^2(x+n^3+1)^2}{4}\)

\((x+1)^3+\cdots+(x+n^3)^3=\frac{(x+n^3)^2(x+n^3+1)^2}{4}-\frac{x^2(x+1)^2}{4}\)

\(=\frac{1}{4}n^3\big(2x+n^3+1\big)\big(2x(x+n^3+1)+n^3(n^3+1)\big)=\big(\frac{(n-1)n(n+1)(n^2+2)}{6}\big)^3\)

\((x+1)^3+\cdots+(x+n^3)^3=\big(\frac{(n-1)n(n+1)(n^2+2)}{6}\big)^3\)

FullSimplify[((((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) + n^3)^2 (((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) + n^3 + 1)^2/4 - ((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6)^2 (((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) + 1)^2/4)/((n - 1) n (n + 1) (n^2 + 2)/6)^3]=1

FullSimplify[(n^3 (2 ((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) + n^3 + 1)/4 (2 ((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) (((n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6) + n^3 + 1) + n^3 (n^3 + 1)))/((n - 1) n (n + 1) (n^2 + 2)/6)^3]=1

FullSimplify[(n^3 (2 x + n^3 + 1) (2 x (x + n^3 + 1) + n^3 (n^3 + 1))/4)/((x + n^3)^2 (x + n^3 + 1)^2/4 - x^2 (x + 1)^2/4)]=1

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-22 07:30
，往前走一走。找几串差不多(3个数，连续，整数)的，可以有吗？
5×6×7+6×7×8+7×8×9+8×9×10+9×1 ...

uk702——谢谢uk702！！！

数学家好像证明了，阶大于等于 3 的高次不定方程只有有限个解，故此，个人猜测连续 4 个或以上的乘积之和还是一个连续乘积最多只有有限个解。  发表于 2021-1-22 07:53

\(14×15×16×17×18+15×16×17×18×19+16×17×18×19×20+\cdots\cdots+35×36×37×38×39=52×53×54×55×56\)——太难了——大海捞针！！！