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名题征解: 试证 ζ(2) = 1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+... = π^2/6

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发表于 2018-6-13 09:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
名题征解: 试证 ζ(2) = 1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+... = π^2/6
发表于 2018-7-7 22:04 | 显示全部楼层
x=π/2-4/π(∑1/n∧2cosnx),n=2k-1
x=0时,1+1/9+1/25+1/49...=π∧2/8
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发表于 2018-7-2 08:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 awei 于 2018-7-2 01:14 编辑

欣赏这样的名题,也可以要把分数看成整数,别有一番滋味!例如1/2看做模π上2的乘法逆元。
质数模对于加减乘除封闭,可以构成一个域。
假定有π≡0(mod5),
1/2≡3(mod 5)
那么有1+1/2^2+1/3^2+1/4^2≡ π^2/6≡0(mod5)
还有一些名题也可以这样看待,例如常数e,调和级数,幂级数,欧拉公式等,味道大大的不同,呵呵!
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 楼主| 发表于 2018-6-15 07:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-6-14 17:49 编辑

Ige2.gif
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发表于 2018-6-13 12:04 | 显示全部楼层
哎呀,我抄过来的证明居然漏了(2n)!

2n!.png
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发表于 2018-6-13 10:09 | 显示全部楼层
欧拉的经典大作,早期证明不太严谨,在当代其证明方法有几十种,可是百度民科吧三江方式非说它是错的,并且还自创了一个级数且悬赏10万元找中华级数漏洞,荒唐至极……此中华级数被写到国外高校黑板上,一上课被外教看到啦,呵呵………黑板上全英文………老师可以看看百度民科吧,连小学九九表都是错的………太多啦,只是路过,有感而发………
 楼主| 发表于 2018-6-13 10:55 | 显示全部楼层
我手上有不少证法.都是权威杂志上的文章.国内有很多质量低下或者错误的文章可以理解,但正宗的东西还是主流.特别是教课书还不至于倒行逆施.我觉得像主贴这类问题,学数学的至少应该撑握一种证法.

点评

同意永远  发表于 2018-6-23 22:11
给elim老师点赞!求全面的详细的剖析一二,估计百度上的都是错的,还有全体正数的和,百度上各说各的……  发表于 2018-6-13 12:37
发表于 2018-6-13 11:16 | 显示全部楼层
我觉得既然要ζ(2)不如就拿那个ζ(2n)试试看

2n.PNG
发表于 2018-6-13 14:10 | 显示全部楼层
公式∑1╱n^2=π^2╱6的证明.GIF
发表于 2018-6-13 14:11 | 显示全部楼层
公式∑1╱n^2=π^2╱6的证明(续1).GIF
发表于 2018-6-13 14:12 | 显示全部楼层
公式∑1╱n^2=π^2╱6的证明(续2).GIF
发表于 2018-6-13 14:12 | 显示全部楼层
公式∑1╱n^2=π^2╱6的证明(续3).GIF
 楼主| 发表于 2018-6-13 14:30 | 显示全部楼层
谢谢陆老师 fungarwai 的精彩参与!
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