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楼主: 蔡家雄

用公式法求解特殊佩尔方程

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发表于 2018-7-21 11:28 | 显示全部楼层
楼主的主贴是不同于数学家的素性测试,是创新性的。很好!
 楼主| 发表于 2018-7-24 15:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-12 08:34 编辑

由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x, y\) 为正整数,且 \(x < y\),且 \(x与y\) 互素,

求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式,

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。

\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项,

\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项,

\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项,

\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项,



 楼主| 发表于 2018-7-27 04:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-5-15 10:43 编辑

求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


发表于 2018-7-27 20:43 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2018-7-27 04:45
指定奇数的素性测试

设奇数n=10k+3或n=10k+7,

蔡兄用数学软件用的很好了  请教用什麼软件可计算各类数学问题且文件小运行快?前面下载过一个文件太大删除了.............
 楼主| 发表于 2023-2-10 09:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-15 20:35 编辑

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

拓展

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解,
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 楼主| 发表于 2023-3-15 23:35 | 显示全部楼层
用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(p=4k+1\) 是素数,

求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,

使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。


推论:此时,

设 \(p=4k+1\) 是素数,

求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解,

得 \(y=r\) ,  \(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .



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 楼主| 发表于 2023-3-16 12:52 | 显示全部楼层
由 \(2^{13} -1=8191\) 是质数,尝试

求 \(x^2 -8191*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=8191*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((8191*r^2)*(8191*r^2+2)/8191)^{1/2}\) 是整数。

点评

8191, [137168708703221032895073625802589931406141894540466576152225731961377054107539335040, 1515606947046439809691055132298479939258772521204671748899078157656970867149893633]  发表于 2023-3-17 15:17
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 楼主| 发表于 2023-3-16 19:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-24 20:15 编辑

设 \(d=2^{2n+1} -1 \) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。

1 (7, [8, 3])
2 (31, [1520, 273])
3 (127, [4730624, 419775])
4 (511, [4188548960, 185290497])
5 (2047, [5566204448, 123026943])
6 (8191, [137168708703221032895073625802589931406141894540466576152225731961377054107539335040, 1515606947046439809691055132298479939258772521204671748899078157656970867149893633])
7 (32767, [4989395453057620761318437024, 27563196825452342280188415])
8 (131071, [68012246112042192848000, 187859780807502143487])
9 (524287, [46997567320561778145191353610962878307987934593756793094427946763383336928816934242481086061476715595745859044117929495717576882495512013272009350122748657837297172805929900209856744164860003129102095470554027278444403614698310930195231667607295884200937188090279571190579061930767996574039047421403571939359840263187167295467057381580417022064357611621451352561562440161111807908201761856905236583371614657642824269432164359502751873003576866612568082872108067683541142293147523053373426326394532201231880879016720914034037527494035878025515276564347843206711912343432348946721305069707108143792557407643740316164224, 64906895008741122476222937583214609214243799343511042599770186693462505668024604821997293668498982744884496689072778902714164446881210975097103993081187378767551871768967055215221731508471912677599134669670778307686638503086861330068780326391434525717635311171812276918961490673285815482166096497112496202129039439516524661906563996866258177830913974661644392881180263757110495349973522174642669167999546080787182227944467163959051276031077066053223740563434912973906942490225545215546942556046567271856598842966734789024069142174111721341814056011491824374521545759295523871629793392166520592149699929568200351745])
10 (2097151, [94716390224614473408540822118113461048452313411820973215983824757335816500342324560789047374282847806009714778621972049086083922828444965267321229715897075070580677225533794783475554185165522956179202380273231115554458953955517542095864979978481990501635325801973427056692681449780979129744252153653028410826103368612341846012894446748561572667652160, 65404900180987526520505029585445844658185900613734410857615652737952867201530958096058535800003294047733713613634131099428721918752038293902093037577350108052529075142957670861394586353233358311356186212004814489737922917832914662488617368055701767664767158479023604548319172656813646225620266344943525094720499185141955249955405063452172806391807])


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 楼主| 发表于 2023-3-16 19:46 | 显示全部楼层
设 \(d=8k+3\) 是素数,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

设 \(d=8k+7\) 是素数,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。


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 楼主| 发表于 2023-3-16 23:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-24 20:20 编辑

设 \(d=2^{2n+1}+11 \) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

1 (19, [170, 39])
2 (43, [3482, 531])
3 (139, [77563250, 6578829])
4 (523, [81810300626, 3577314675])
5 (2059, [76292657571747809951, 1681336224678949560])
6 (8203, [69876915611822519318, 771520323981133629])
7 (32779, [80398835008645600324801235608771036666670182431880486400032257485064770658401842307691224942422999531536156600364499923056796970, 444070481702336563743442162036596677391329202863273716321349178397032836203330537445461630919283792936487491412555761435022659])
8 (131083, [712391055453831000489441596851496374586922211968388426389868928977886834600835988092416446450847, 1967638319811445164614618584089426421183233564951501613871659298300476433553720642927098589576])
9 (524299, [262370423419022052948006380362585230636886087574885576160106593835878424107999431011992139225761227061447388396667090, 362347576933161309620975692036326829940654492435422509507444016197507206937437226010673272525903902430923747403149])
10 (2097163, [66551049079488501983959284853373248448554106736699729803934265156536874676626434177518523856595115847326033553714770905049243078368745726019557433640728343803399, 45955639339182891136502078220721866137731621744981660957938911432411265785268208500581497233009913599223286111395352680221603536538078514618343979427535429580])


点评

2059, [76292657571747809951, 1681336224678949560]  发表于 2023-3-17 15:16
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