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三个正实数 a,b,c 的和为 9/2,积等于 2,证明 a,b,c 中至少有一个不大于 (1+√33)/8

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发表于 2018-7-16 21:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-7-20 07:36 编辑

问题:三个正实数 a, b, c , 它们的和等于 9/2,它们的积等于 2。证明这三个正数中至少有一个不大于(1+√33)/8。


说明: √33 表示 33 的平方根。
 楼主| 发表于 2018-7-16 21:58 | 显示全部楼层
这问题是在其它数学论坛上看到的,大概看了下原文的证法,没弄明白,我也不会做这题。
期待高手出招。
发表于 2018-7-17 09:40 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2018-7-17 10:45 | 显示全部楼层
谢谢陆教授的精彩解答!
 楼主| 发表于 2018-7-17 21:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2018-7-18 08:26 编辑



上面是用 mathematica 软件做题的结果。从这个结果可以看出,本题还可以进一步改成下面这样子——

三个正实数 a, b, c 的和是 9/2,积是 2,证明:
(1)这三个数中至少有一个不大于(1+√33)/8;
(2)这三个数中的任何一个都不小于 1/2。
(3)这三个数中最大者可以取到多大?

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发表于 2018-7-18 09:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-7-18 11:01 编辑
天山草@ 发表于 2018-7-17 21:20
上面是用 mathematica 软件做题的结果。从这个结果可以看出,本题还可以进一步改成下面这样子——

...


先总结,再解题。
1,已知3个正实数的和与积,则只有在其中2个数相等时,
才会出现第3个数尽可能大,或第3个数尽可能小的情况。
2,具体地,
相等的2个数是大数(A1),第3个数有最小值(B1),
相等的2个数是小数(B2),第3个数有最大值(A2),
3,结论。
大数最小可以是(A1),大数最大可以是(A2),
小数最小可以是(B1),小数最大可以是(B2),
4,再解题
a+b+b=a+2b=9/2     (1)
a×b×b=a×b^2=2      (2)
由(1)得:a=9/2-2b     (3)
(3)代入(2)
4b^3-9b^2+4=(b-2)(4b^2-b-2)=0
解方程  4b^2-b-2=0   得   b=(1+√33)/8
5,联系本题:
大数最小可以是2,大数最大可以是(34-2√33)/8,
小数最小可以是1/2,小数最大可以是(1+√33)/8。
 楼主| 发表于 2018-7-18 20:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草@ 于 2018-7-18 20:18 编辑



如果先确定 c,并约定 a≥b,那么可以画出函数的图像如上所示。

总结一下,这道题的完整写法如下:



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 楼主| 发表于 2018-7-18 20:23 | 显示全部楼层
把 c 看作已知量,求 a、b 的 mathematica 程序如下:

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发表于 2018-7-18 21:04 | 显示全部楼层
天山草@ 发表于 2018-7-18 20:23
把 c 看作已知量,求 a、b 的 mathematica 程序如下:

1,已知4个正实数的和与积,则只有在其中3个数相等时,
才会出现第4个数尽可能大,或第4个数尽可能小的情况。
2,具体地,
相等的3个数是大数(A1),第4个数有最小值(B1),
相等的3个数是小数(B2),第4个数有最大值(A2),
3,结论。
大数最小可以是(A1),大数最大可以是(A2),
小数最小可以是(B1),小数最大可以是(B2),

1,已知5个正实数的和与积,则只有在其中4个数相等时,
才会出现第5个数尽可能大,或第5个数尽可能小的情况。
2,具体地,
相等的4个数是大数(A1),第5个数有最小值(B1),
相等的4个数是小数(B2),第5个数有最大值(A2),
3,结论。
大数最小可以是(A1),大数最大可以是(A2),
小数最小可以是(B1),小数最大可以是(B2),

……………………
发表于 2018-7-18 22:42 | 显示全部楼层
楼上 天山草@王守恩 的帖子都很好!

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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