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楼主: 195912

a/a与1的争议(a≠0,a∈R)

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发表于 2018-9-24 21:46 | 显示全部楼层

1+x+x^2+... 与 1/(1-x) 的差是多少? 如果这个差是变数,那么现在变到哪里了?
发表于 2018-9-24 22:02 | 显示全部楼层
elim 发表于 2018-9-24 13:46
1+x+x^2+... 与 1/(1-x) 的差是多少? 如果这个差是变数,那么现在变到哪里了?

无穷级数的前n项和序列{Sn}是无限变化着永不停止的随着变数n的变化而变化着的变数,与时间无关,可以研究其在某个n处的值,可以研究其极限。而不能提出现在变到哪里的问题。
 楼主| 发表于 2018-9-25 19:59 | 显示全部楼层
       题:若 -1<x<1 ,试求
                 (1)     (1-x^n)/(1-x) (其中 n∈N.)展开式;
                 (2)        1/(1-x)  展开式.
       解:(1)∵ -1<x<1 ,n∈N,
根据 n次方差公式
                         x^n - y^n=(x-y)[x^(n-1)+x^(n-2)y+......+xy^(n-2)+y^(n-1)]
                     ∴  (1-x^n)=(1-x)[1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)]
                     ∴  (1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)
              (2)∵ -1<x<1
根据二项式幂的展式:
                         (1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+......+[m(m-1)......(m-n+1)/n!]x^n+......    -1<x<1
                     ∴  (1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)+x^n+......

       根据上述解答 (1-x^n)/(1-x) 展开式与 1/(1-x)  展开式有相似的地方,其表述的意义不同,且
                           (1-x^n)/(1-x) ≠ 1/(1-x)
 楼主| 发表于 2018-9-25 20:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 195912 于 2018-9-25 13:59 编辑

       题:若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 试求 lim_(n→∞) S(x) ?
发表于 2018-9-26 09:37 | 显示全部楼层

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim_(n→∞) S(x)=1/(1-x) ..
这是很显然的问题。你为什么提这个问题?
 楼主| 发表于 2018-9-26 12:32 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 先生:
          先生说
          “若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim_(n→∞) S(x)=1/(1-x) ..
这是很显然的问题。你为什么提这个问题?”
        "很显然" ,楼主的问题 "a/a与1的争议(a≠0,a∈R)"是一个不应该产生争议的问题,正如楼主的预期,还是引来了围观与争议.
       我们研究
              (1-x^n)/(1-x),其中(-1<x<1 )
       是讨论
             1+x+x^2+......+x^(n-1)
的有限表达式.
       我们研究
             1/(1-x),其中(-1<x<1)
      是讨论
               1+x+x^2+......+x^n+......
的无限表达式.
      先生还坚持认为
      "改写后的表达式已经给你说过多次。是 1/(1- x)=lim n→∞(1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1)."
       正确吗?
      

            
发表于 2018-9-26 15:11 | 显示全部楼层
195912 发表于 2018-9-26 04:32
jzkyllcjl 先生:
          先生说
          “若 -1

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim(n→∞)(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
的过程用到 lim(n→∞)(1-x^n)=1, 哪一点不正确?
 楼主| 发表于 2018-9-26 18:36 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 先生:
           "很显然"
            "若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim(n→∞)(1-x^n)/(1-x)=1/(1-x) "
正确。
           同样, "很显然"
              "改写后的表达式已经给你说过多次。是 1/(1- x)=lim n→∞(1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1)."
错的离谱。
发表于 2018-9-26 19:07 | 显示全部楼层
195912 发表于 2018-9-26 10:36
jzkyllcjl 先生:
           "很显然"
            "若 -1

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim(n→∞)(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
的过程用到 lim(n→∞)x^n)=0,与 lim(n→∞)(1-x^n)=1,最后得到
lim(n→∞) S(x)=lim(n→∞)(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
你说说 : 哪一步,哪一点不正确?
 楼主| 发表于 2018-9-26 19:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 195912 于 2018-9-26 12:33 编辑

jzkyllcjl 先生:
         自己比较一下吧!
          “是                                     1/(1- x)=lim n→∞(1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1).”
          “若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim(n→∞)(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ”
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