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楼主: ccmmjj

旁心三角形的三心关系

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发表于 2018-9-28 21:45 | 显示全部楼层
相关结论如著名的费尔巴哈定理。

点评

谢谢提醒,是的,我把它表示在图里了,请查看……  发表于 2018-9-29 12:38
发表于 2018-9-29 12:38 | 显示全部楼层
denglongshan 发表于 2018-9-28 21:45
相关结论如著名的费尔巴哈定理。

赏心悦目加费尔巴哈定理.png
 楼主| 发表于 2018-11-18 13:15 | 显示全部楼层
本来早就要贴解答,只因系统崩溃一个多月,自己都忘记了。看着题目半个小时,才又想起来。关于这个题目的解答(九点圆)网上也有,只是我的不同,聊备一格。
01.png
证明:为了证明书写简捷,△ABC三边分别用a,b,c表示。
连接EO',交BC于H点,由上一个帖子,知道EO'⊥BC,作EG⊥AB于G,EJ⊥AC于J.
由旁心性质角平分线定理,易知BG=BH,CJ=CH。AG=AJ=(a+b+c)/2.
于是  BH=BG=AG-AB=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2.
过内心I向三边作垂线段IK,IL,IN.由内心性质角平分线定理,有
CK=CN=x, AK=AL=y, BL=BN=z,可联立列方程组
x+z=a,①   x+y=b, ②  y+z=c.  ③
解出 x=(a+b-c)/2,即得CN=BH.
最后,作OM⊥BC于M,由垂径定理,M是BC中点。因CN=BH,所以M也是HN中点。
又因为EO',OM,IN都垂直于BC,所以 EO'∥OM∥IN,根据平行线等分线段定理,
得 O是IO'的中点。证毕 █
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