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正三角形 ABC 中,D 是 AB 中点,E 是 BC 上一点,已知 DE=EF=CF ,求证:∠DEF=60°

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发表于 2018-11-8 16:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-11-16 07:35 编辑

这是在文科论坛上无人会做的题目,当然在应当这里是小菜一碟。
发表于 2018-11-8 17:40 | 显示全部楼层



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发表于 2018-11-8 17:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2018-11-8 17:46 编辑

四个三角形相等 边也相等 其中有六十度和三十度的角度关系

这几个三角形从右下角沿角平分线向上相似放大运动 达到左边恰好为三角形腰的中点...........

得到正三角形腰到底顶点的三等边折线 当然还有对称的另一条..........

发表于 2018-11-8 20:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2018-11-9 00:15 编辑




更广泛的方法:怎麼做一个至少有一个60度角折线的三截线

圆过中点 底顶点和底边  用此法反证法与题目矛盾既可证明..........


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发表于 2018-11-8 20:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2018-11-8 20:28 编辑

除前面两个方法 其他方法是达不到三等边折线有至少一个60度折线的

如下面这个就不是六十度






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发表于 2018-11-8 20:45 | 显示全部楼层


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点评

用三次单位根计算更简单  发表于 2018-11-15 20:01
发表于 2018-11-8 20:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 ataorj 于 2018-11-8 21:11 编辑


先改题目如图,正三角形ABC各边中点依次为D,H,G
F在GH上,EH=FG
求证:  DEF为正三角形且EF=FC
证明: ∠G=∠H=60°,DG=DH,EH=FG
-> △DEH≌△DFG,DE=DF,∠GDF=∠HDE,
而∠GDH=60° -> ∠EDF=60°,DEF为正三角形
另外,∠G=∠FGC=60°易证△CFG≌△DFG,DF=FC -> EF=FC

回到原题目,F必在直线FK上,
假设F不在直线GH上,为和在直线GH上的F相区别,
不在直线GH上的F计为F',∠FKC=90°,则显然EF'≠EF
这不符合题目已知条件EF=DE,所以F必在直线GH上
这就回到了本证明的开头成立情形,证毕.

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发表于 2018-11-8 22:14 | 显示全部楼层
缺少对GF=HE必要性的分析。。。
发表于 2018-11-9 03:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 Ysu2008 于 2018-11-9 03:39 编辑

我们不妨把圈圈绕远一点,先搞一个一般化的结论,再把题目作为特殊情况代入求解。



回到题目,题目可等价为:

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发表于 2018-11-9 11:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2018-11-9 13:12 编辑

我用更简单的方法 (不用反证法)直接极简证明:




这种证法还需证一下直角关系....... 有时间再研究一下





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