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再谈链、交换和构形

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发表于 2018-11-9 12:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

再谈链、交换和构形
雷  明
(二○一八年十一月六日)
(图发不上来,请到<中国博士网>中去看)

1、链:这里所说的链指的都是2—色链,即用两种颜色交替对顶点着色的一个顶点—边—顶点的序列。以下就以BAB型的5—轮构形来进一步进行说明。
1、1  从构成链的颜色上分:有相邻链和相反链。两条相邻链是有一种颜色是相同的链。这样的两条相邻链是可以相互穿过的,即是可以交叉的,也是可以相接的。两条相反链是两种颜色都不相同的链。这样的两条链是不可能交叉和相接的。在BAB型的5—轮构形中,A—C链和A—D链,B—C链和B—D链,分别是两对相邻链;而A—B链和C—D链是一对相反链。
两条相邻链有“相接”、“交叉”和“既相接又交叉”之别。在BAB型的5—轮构形中,A—C链和A—D链就是在顶点A处相接的两条相邻链,也还可以是又在中途某一着色为A的顶点交叉的既相接又交叉的两条相邻链;B—C链和B—D链只可能是在中途某一着色为B的顶点交叉的两条相邻链。相邻链还有“直链”与“环形链”之别。在BAB型的5—轮构形中,若经过5—轮轮沿顶点的两条相邻链A—B和C—D中有一条是直链时,则另一条也一定是直链;若有一条邻角链是环形链时,则另一条与其相反的邻角链则一定是被分成了环内、环外互不连通的两部分。
1、2  从构成链的颜色的来源上分:有对角链和邻角链。对角链就是由5—轮的对角轮沿顶点的颜色构成的链。而邻角链则是由5—轮的相邻轮沿顶点的颜色构成的链。
对角链有“连通链”与“不连通”之别,两对角顶点间的链是连通的,就是从5—轮的轮沿顶点开始,沿该链可一直到达起始顶点的对角顶点的链;两对角顶点间的链是不连通的,则是不能到达对角顶点的链。
坎泊的证明中,只用到了对角链的交换,所以也可以把对角链叫做坎泊链,把交换对角链的方法叫做坎泊链法。
1、3  BAB型的H—构形中,可能有的A—B,A—C,A—D,B—C,B—D和C—D六种链中,只有B—C链和B—D链既是邻角链,又是对角链,两链还是一对相邻链。而A—B链和C—D链是一对相反链,又各是邻角链,A—C链和A—D链既是一对相邻链,又是对角链。除了A—B和C—D这一对相反色链不能成为相邻链外,其他的对角链,邻角链都可能成为相邻链。
2、交换:这里所说的交换就是指颜色交换,是把某条链中各顶点的颜色相互交换之意。有三种不同作用的交换,它们分别是:
2、1  空出颜色的交换:这种交换只有在对角链是不连通的情况下才能进行,才可以空出颜色给待着色顶点,而且也只有在交换对角链时才能空出颜色。而连通的对角链是不能空出颜色来的。赫渥特就是犯了这种错误,所以他对他构造的图是不能4—着色的。坎泊的证明中全都是用的是这种空出颜色的交换,所以空出颜色的交换也可以叫做坎泊交换,用K—交换来表示。因为这一种交换全部用的是对角链的交换,所以这种交换也可以叫做对角链交换。
2、2  断链交换:这种交换只能在邻角链A—B和C—D有至少一条是环形链的情况下才能进行,才能达到切断两条既相接又交叉的连通链A—C链和A—D链的目的,使图由H—构形变成K—构形之目的。有A—B邻角链是环形链时,交换的是C—D邻角链,有C—D邻角链是环形链时,交换的是A—B邻角链。
2、3  转型交换:这种交换,是在没有环形邻角链的情况下进行,且只能在B—C对角链间和B—D对角链间进行。交换的结果使得5—轮中着了两次的颜色有所改变,当然构形的峰点也就改变了,所以叫转型交换。这种交换的结果,如果在正确使用时,可以使无任何环形邻角链的BAB型H—构形,直接转化为可以连续的移去两个同色D(或C)的DCD(或CDC)型的K—构形,或者转化为有经过5—轮两个轮沿顶点的A—B环形邻角链的DCD(或CDC)形的H—构形。
2、4  可以看出,以上的断链交换和转型交换,结果都使得构形的类型发生了变化,所以也可统一叫做转变类型的交换。这一交换在坎泊的证明中,是从没有使用过的,而是在我们解决H—构形的着色中才发现和创造的,虽然不能叫做赫渥特交换,但我们仍用H—交换来表示它。又因为这种交换所用以交换的链都是邻角链,所以这种交换也可以叫做邻角链交换。
3、构形:平面图的构形是轮构形。坎泊已证明是可约的轮构形就叫坎泊构形,用K—构形来表示,因为构形这一概念最早是由坎泊提出并运用的。而把坎泊还未证明是可约的构形则叫做赫渥特构形,用H—构形来表示,因为这种构形最早是由赫渥特发现的。
K—构形就是能通过一次或两次对角链的空出颜色的交换空出颜色给待着色顶点的构形。而H—构形则是不能通过一次或两次对角链的空出颜色的交换空出颜色给待着色顶点的构形,而只能通过一次邻角链的转型交换使构形的类型发生变化的构形。这一转化可分为:有环形邻角链的H—构形直接转化为同峰点的K—构形(如雷明先生的第一、二类H—构形和张彧典先生的所谓十折对称的构形),无环形邻角链的H—构形直接转化为可连续的移去两个同色的K—构形(如雷明先生的第三类H—构形中的一部分和张先生的非十折对称的构形中的一部分),和无环形邻角链的H—构形先是转化成有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B链的H—构形,再通过邻角链C—D链的转型交换,最后转化成K—构形(如雷明先生的第三类H—构形中的一部分和张先生的非十折对称的构形中的另一部分)这三种情况。所有的H—构形的不可免构形都转化成了K—构形,也就都成了可约的构形了,四色猜测也就得到了证明是可约的。

雷  明
二○一八年十一月六日于长安

注:此文已于二○一八年十一月六日在《中国博士网》上发表过,网址是:
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