一道难题,不会证明,算几个数 n = (a^2+b) / (a+b^2)

dlpangong

据说这是一道世纪难题：
a，b，n 均为正整数， 满足： n = (a^2+b) / (a+b^2) 。
对每一个 n 来说，都能找到对应的 a，b 吗？
我不会证明,相信"能"
朱明君给出宝贵的计算结果
我试着扩大计算范围,计算了几个数,列于后
供理论分析参考
如有错误,请指出

#1 朱明君计算结果
i=       0 ,n=         1 ,a=         1 b=         1
i=       1 ,n=         2 ,a=         5 b=         3
i=       2 ,n=         3 ,a=         5 b=         2
i=       3 ,n=         3 ,a=        10 b=         5
i=       4 ,n=         4 ,a=        10 b=         4

==================================================
#2 我的计算结果
n(a+b^2) = (a^2+b)
对于n 1---21 求整数 a b
在 a< 2001 条件下 全部找到 a b
朱明君计算结果无误
随n增加a增加迅速,a波动范围很大
除n=1 , 每个n 不仅能找到,而且能找到多组 (a,b)


n=  20 ,a=1602 ,b= 356  amax=1602
只需要 看 n a b ,其它供验算用

cnt=   0 ,n=   1 ,a=   1  ,b=   1
cnt=   1 ,n=   2 ,a=   5 ,b=   3 ,left=  28 ,right=  28 ,result=   0 ******
cnt=   2 ,n=   2 ,a=  12 ,b=   8 ,left= 152 ,right= 152 ,result=   0 ******
cnt=   3 ,n=   2 ,a= 135 ,b=  95 ,left=18320 ,right=18320 ,result=   0 ******
cnt=   4 ,n=   2 ,a= 374 ,b= 264 ,left=140140 ,right=140140 ,result=   0 ******
cnt=   5 ,n=   3 ,a=   5 ,b=   2 ,left=  27 ,right=  27 ,result=   0 ******
cnt=   6 ,n=   3 ,a=  10 ,b=   5 ,left= 105 ,right= 105 ,result=   0 ******
cnt=   7 ,n=   3 ,a=  48 ,b=  27 ,left=2331 ,right=2331 ,result=   0 ******
cnt=   8 ,n=   3 ,a= 119 ,b=  68 ,left=14229 ,right=14229 ,result=   0 ******
cnt=   9 ,n=   3 ,a= 649 ,b= 374 ,left=421575 ,right=421575 ,result=   0 ******
cnt=  10 ,n=   3 ,a=1638 ,b= 945 ,left=2683989 ,right=2683989 ,result=   0 ******
cnt=  11 ,n=   4 ,a=  10 ,b=   4 ,left= 104 ,right= 104 ,result=   0 ******
cnt=  12 ,n=   5 ,a=  27 ,b=  11 ,left= 740 ,right= 740 ,result=   0 ******
cnt=  13 ,n=   5 ,a=  56 ,b=  24 ,left=3160 ,right=3160 ,result=   0 ******
cnt=  14 ,n=   5 ,a= 170 ,b=  75 ,left=28975 ,right=28975 ,result=   0 ******
cnt=  15 ,n=   5 ,a= 369 ,b= 164 ,left=136325 ,right=136325 ,result=   0 ******
cnt=  16 ,n=   6 ,a=  69 ,b=  27 ,left=4788 ,right=4788 ,result=   0 ******
cnt=  17 ,n=   6 ,a= 140 ,b=  56 ,left=19656 ,right=19656 ,result=   0 ******
cnt=  18 ,n=   7 ,a=  12 ,b=   3 ,left= 147 ,right= 147 ,result=   0 ******
cnt=  19 ,n=   7 ,a=  17 ,b=   5 ,left= 294 ,right= 294 ,result=   0 ******
cnt=  20 ,n=   7 ,a=  30 ,b=  10 ,left= 910 ,right= 910 ,result=   0 ******
cnt=  21 ,n=   7 ,a= 133 ,b=  49 ,left=17738 ,right=17738 ,result=   0 ******
cnt=  22 ,n=   7 ,a= 215 ,b=  80 ,left=46305 ,right=46305 ,result=   0 ******
cnt=  23 ,n=   7 ,a= 424 ,b= 159 ,left=179935 ,right=179935 ,result=   0 ******
cnt=  24 ,n=   8 ,a=  38 ,b=  12 ,left=1456 ,right=1456 ,result=   0 ******
cnt=  25 ,n=   8 ,a=  69 ,b=  23 ,left=4784 ,right=4784 ,result=   0 ******
cnt=  26 ,n=   8 ,a=1155 ,b= 407 ,left=1334432 ,right=1334432 ,result=   0 ******
cnt=  27 ,n=   9 ,a=  20 ,b=   5 ,left= 405 ,right= 405 ,result=   0 ******
cnt=  28 ,n=  10 ,a= 103 ,b=  31 ,left=10640 ,right=10640 ,result=   0 ******
cnt=  29 ,n=  10 ,a= 182 ,b=  56 ,left=33180 ,right=33180 ,result=   0 ******
cnt=  30 ,n=  10 ,a=1937 ,b= 611 ,left=3752580 ,right=3752580 ,result=   0 ******
cnt=  31 ,n=  11 ,a=  14 ,b=   2 ,left= 198 ,right= 198 ,result=   0 ******
cnt=  32 ,n=  11 ,a=  26 ,b=   6 ,left= 682 ,right= 682 ,result=   0 ******
cnt=  33 ,n=  11 ,a=  62 ,b=  17 ,left=3861 ,right=3861 ,result=   0 ******
cnt=  34 ,n=  11 ,a= 105 ,b=  30 ,left=11055 ,right=11055 ,result=   0 ******
cnt=  35 ,n=  11 ,a= 221 ,b=  65 ,left=48906 ,right=48906 ,result=   0 ******
cnt=  36 ,n=  11 ,a= 284 ,b=  84 ,left=80740 ,right=80740 ,result=   0 ******
cnt=  37 ,n=  11 ,a= 609 ,b= 182 ,left=371063 ,right=371063 ,result=   0 ******
cnt=  38 ,n=  11 ,a=1070 ,b= 321 ,left=1145221 ,right=1145221 ,result=   0 ******
cnt=  39 ,n=  12 ,a= 335 ,b=  95 ,left=112320 ,right=112320 ,result=   0 ******
cnt=  40 ,n=  12 ,a= 574 ,b= 164 ,left=329640 ,right=329640 ,result=   0 ******
cnt=  41 ,n=  13 ,a=  19 ,b=   3 ,left= 364 ,right= 364 ,result=   0 ******
cnt=  42 ,n=  13 ,a=  43 ,b=  10 ,left=1859 ,right=1859 ,result=   0 ******
cnt=  43 ,n=  13 ,a=  68 ,b=  17 ,left=4641 ,right=4641 ,result=   0 ******
cnt=  44 ,n=  13 ,a= 230 ,b=  62 ,left=52962 ,right=52962 ,result=   0 ******
cnt=  45 ,n=  13 ,a= 385 ,b= 105 ,left=148330 ,right=148330 ,result=   0 ******
cnt=  46 ,n=  13 ,a=1189 ,b= 328 ,left=1414049 ,right=1414049 ,result=   0 ******
cnt=  47 ,n=  14 ,a=1859 ,b= 495 ,left=3456376 ,right=3456376 ,result=   0 ******
cnt=  48 ,n=  15 ,a= 147 ,b=  36 ,left=21645 ,right=21645 ,result=   0 ******
cnt=  49 ,n=  15 ,a= 236 ,b=  59 ,left=55755 ,right=55755 ,result=   0 ******
cnt=  50 ,n=  16 ,a=  37 ,b=   7 ,left=1376 ,right=1376 ,result=   0 ******
cnt=  51 ,n=  16 ,a= 264 ,b=  64 ,left=69760 ,right=69760 ,result=   0 ******
cnt=  52 ,n=  17 ,a= 293 ,b=  69 ,left=85918 ,right=85918 ,result=   0 ******
cnt=  53 ,n=  17 ,a= 462 ,b= 110 ,left=213554 ,right=213554 ,result=   0 ******
cnt=  54 ,n=  18 ,a=  44 ,b=   8 ,left=1944 ,right=1944 ,result=   0 ******
cnt=  55 ,n=  18 ,a= 429 ,b=  99 ,left=184140 ,right=184140 ,result=   0 ******
cnt=  56 ,n=  19 ,a=  54 ,b=  10 ,left=2926 ,right=2926 ,result=   0 ******
cnt=  57 ,n=  19 ,a= 184 ,b=  40 ,left=33896 ,right=33896 ,result=   0 ******
cnt=  58 ,n=  19 ,a=1644 ,b= 375 ,left=2703111 ,right=2703111 ,result=   0 ******
cnt=  59 ,n=  20 ,a=1043 ,b= 231 ,left=1088080 ,right=1088080 ,result=   0 ******
cnt=  60 ,n=  20 ,a=1602 ,b= 356 ,left=2566760 ,right=2566760 ,result=   0 ******
cnt=  61 ,n=  21 ,a=  89 ,b=  17 ,left=7938 ,right=7938 ,result=   0 ******
cnt=  62 ,n=  21 ,a= 130 ,b=  26 ,left=16926 ,right=16926 ,result=   0 ******

dlpangong

许多中间结果对证明的启发作用更大,
但是多达数十亿
不在此发表,需要者可私信索取
计算难度不大,但耗时
估计n可容易到100左右,有人需要青提出
否则暂不再计算了
对证明已经足够了,等网友的好消息
--- 对给定n,可以找到多组解(a,b)  ----

王守恩

dlpangong 发表于 2018-12-3 15:37
许多中间结果对证明的启发作用更大,
但是多达数十亿
不在此发表,需要者可私信索取

a，b，n 均为正整数， 满足： n = (a^2+b) / (a+b^2) 。
求证：对任意 n 来说，都能找到对应的 a，b。
详见基础数学帖子《对于任一有理数 m/n，均可表为 (a^2+b) / (a+b^2) 的形式》

dlpangong

我的第一句是
据说这是一道世纪难题：
(见 王守恩 2018-5-5 20:30 求助 ：一道难题)
括号内的内容为 了尊重原贴作者略去,没有指名道姓,而是泛指"据说"
欢迎一起深入讨论

dlpangong

王守恩 发表于 2018-12-3 17:16
a，b，n 均为正整数， 满足： n = (a^2+b) / (a+b^2) 。
求证：对任意 n 来说，都能找到对应的 a，b。 ...

回复王守恩:没有找到你的帖子,可否告知如何得到该帖子

dlpangong

回复王守恩:确实用各种方法无法查到 :对于任一有理数 m/n，均可表为 (a^2+b) / (a+b^2) 的形式
如果可能,请转给我,谢谢
我的这些数据就是回应你在"求助"帖子的要求,够了吗>

dlpangong

终于查到有关帖子,原来标题是:
王守恩有理数问题：对于任一有理数 m/n，均可表为 (a^2+b) / (a+b^2) 的形式，
elim 发表于 2018-5-29 22:51

  首先,elim看错题意,把正整数问题当成有理数问题,给出证明
  经王守恩指出错误后,认识到"正整数的相应问题的确不简单",
  给出计算代码和 n= 1---100的计算结果,非常宝贵.
贴中有些网友嘲笑不必在意,望互相尊重.王老师应是学数学,教数学,爱数学的
elim数据和我的数据比较很有意义
1 elim以验证为目的,快速计算到n=100 共 100 组数据
2 我以研究规律为目的,找到给定a内全部(a,b),慢,指计算到n=21 共 63 组数据
可以互相参照分析
唯一的认为"不能"的 是 风花飘飘:不可能！那是因为n=17没有露面。
实际上 n=17 有多组解:
n=  17 ,a= 293 ,b=  69
n=  17 ,a= 462 ,b= 110

难题仍然没有被证明
本来想在"基础数学"发表,真么跑到"计算数学" ,确实是"新手上路",