平面上有五个点，其中任何三点都不共线，证明：其中必有四个点是凸四边形的顶点

闲人一堆 · 发表于 2019-1-21 12:59

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-1-23 11:57 编辑

请问如何证明：平面上任意三点不共线的五个点中，必有四个点是凸四边形的顶点。

红树 · 发表于 2019-1-21 13:24

命题是错误的

闲人一堆 · 发表于 2019-1-21 13:47

请问：错在什么地方？该怎么改正？

ccmmjj · 发表于 2019-1-21 18:17

这不叫猜想，对或不对，容易判断。我判断是正确的。

ataorj · 发表于 2019-1-21 20:40

这说明其任意3点都可组成一个三角形，
而且要证明必有一点在一个三角形外。
反证法思路，首先让两点A，B在一个三角形CDE内，若能证明其中A必在三角形BCD或BDE或BEC之外即可。
先把A放到BCD内，则显然A必同时在BDE和BEC之外。证毕。

ataorj · 发表于 2019-1-21 20:50

因为BCD在BDE外部[除了BD]，而A也不在BD上，则A必在BDE之外。BEC同理BCD。

ataorj · 发表于 2019-1-21 22:15

还有一点需要强调，任意三点不共线则表明任意n(>3整数)点都能组成一个n多边形

闲人一堆 · 发表于 2019-1-22 11:42

ataorj 发表于 2019-1-21 20:50
因为BCD在BDE外部[除了BD]，而A也不在BD上，则A必在BDE之外。BEC同理BCD。

A是在BDE之外，但是这时连接AD和AE。那么如果B点在三角形ADE内部呢，还是不对，所以5楼的说明也有问题。

红树 · 发表于 2019-1-22 12:56

本帖最后由红树于 2019-1-22 19:56 编辑

命题是错误

ataorj · 发表于 2019-1-22 13:02

它说明了A点不同时在BCD内，BDE内和BEC内。B点也对应类似。说明任何一点都至少在两个三角形之外。
稍后我给出严谨完整的表述，大家也可以尝试下。

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