三个勾股数新公式 与 nab 猜想

朱明君

蔡家雄 发表于 2019-3-29 10:13
设 a, b, c 均为正整数且互不相等，

求证：(a^b+b^c) 不可能被 (a+b+c) 整除。

没有整除解

费尔马1

蔡家雄猜想：
a∧3+mab+b∧3=c∧3
其通解为：
a+b=c=m/3
其中，m为3的倍数。
例如：1∧3+63*1*20+20∧3=21∧3
3∧3+63*3*18+18∧3=21∧3
1∧3+21*1*6+6∧3=7∧3
………………

费尔马1

m不能等于p是素数，但是这个是通解式，可以得到无穷多解。证明您的猜想是成立的。

王守恩

费尔马1 发表于 2019-4-4 10:40
m不能等于p是素数，但是这个是通解式，可以得到无穷多解。证明您的猜想是成立的。

   谢谢费尔马1！蛮好的思路。谢谢费尔马1！

提问：a,b,c 是正整数，a^2+nab+b^2=c^2，n 能跑遍所有正整数吗？

当 a=n+6,b=8,c=3n+10时，n 能跑遍所有正整数。

即 (n+6)^2+n(n+6)*8+8^2=(3n+10)^2。

费尔马1

王老师您好：n可以是任意正整数，以后有时间，我发关于n是任意正整数的几个通解式。谢谢老师！
蔡老师您好：您的这个同次幂的公式太棒了，我早就想找这样的公式，就是没有解出啊！我以为这样的同次幂不存在公式呢！您的这一招震惊全世界数学界啊！首屈一指，厉害厉害啊！！！

红树

72835186273981371719823714625763^4+a^4+b^4= c^4，有没有整数解？如果有整数解，唯一确定吗？

费尔马1

蔡氏小定理及蔡氏勾股数公式真是旷世绝学无价之宝啊！！！特别是蔡氏小定理，可能当今没有其他人解出？因为当年费马都不会考虑这个问题，蔡老师称得上是数学之王！

朱明君

x^2+y^2+n=z^2
当n是2时,只有1组解,即3^2+5^2+2=6^2

x^2+y^2-n=z^2
当n是2时,只有1组解,即5^2+11^2-2=12^2

朱明君

x^2+y^2-n=z^2
通解公式
设正整数x≥3,  (x^2-x)/2+1=y,   (x^2-x)/2+2=z,   n=x-3,
则x^2+y^2-n=z^2