求 n→+∞ 时的极限 lim(1+n/1!+n^2/2!+…+n^n/n!)/e^n

luyuanhong · 发表于 2015-12-29 11:14

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

elim · 发表于 2016-1-5 22:42

n 也是分子和的上指标，对其求导受其离散性妨碍。
下面是一些数值计算：

elim · 发表于 2016-1-5 22:47

网友 YAG 很厉害啊

ccmmjj · 发表于 2016-1-6 01:33

我看得出elim兄弟的意思，洛必达法则这样用是不行的。elim的数据说明，这个极限可能是0.5附近的数。

ccmmjj · 发表于 2016-1-6 01:41

至于洛必达法则是否可以无限次使用，这个问题不下于实变函数论中关于连续函数列的极限是否连续的问题，elim年轻有为，可以思考分析，说不定还会做出一篇论文。呵呵。

elim · 发表于 2016-1-6 05:04

谢谢ccmmjj兄的关注。这个极限很有趣：

luyuanhong · 发表于 2016-1-6 08:43

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

我原来的解答确实有问题，现已删除。

elim · 发表于 2016-1-7 00:55

谢谢陆老师的分享。网上咨询的结果：这个极限确实等于 1/2.

证明至少可以从概率论的 Psisson 分布有关的定理得出：

elim · 发表于 2016-1-8 03:48

本帖最后由 elim 于 2016-1-7 16:19 编辑

这个结果证实了基于前面的数据所得的猜想，但用到了超过初等微积分的一些结果。
希望看到更初等的证明。

luyuanhong · 发表于 2016-1-8 07:39

楼上 elim 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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