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偶数哥德巴赫猜想的证明
（修订版）
余鉴生
（广东省郁南县政府办公室 广东云浮 527100）
摘要：根据已被证明的奇数哥德巴赫猜想引出素组、素对、配素等概念及几个引理，使偶数哥德巴赫猜想得证.
关键词：奇、偶数哥德巴赫猜想；素组；素对；配素
偶数哥德巴赫猜想，自1742年以来先后难倒了欧拉、黎曼等伟大数学家.下面以得证的奇数哥德巴赫猜想为基础，通过“构造”素组、素对、配素及三个引理，使其得到证明.
一.若干定义
根据奇数哥德巴赫猜想有：
M=m1+m2+m3 （1）
其中M是大于7的奇数，m1，m2，m3 是大于或等于3的奇素数.根据（1），可得：
【定义1】命M为大奇数，简称大奇，显然M≥9；
【定义2】m1，m2，m3 均称为M的匹配奇素数，简称配素，显然m≥3；
【定义3】（m1，m2，m3 ）是M的1个配素组，简称素组； 【定义4】M的1个素组（m1，m2，m3 ）有且只有3个素对：（m1，m2），（m1，m3 ），（m2，m3 ）.
二.若干引理
【引理1】大奇M减去它的1个素对之和的差等于它相应的1个配素.
证明：根据大奇、素组、素对、配素的定义可推知.（因为大奇的素对必定归属于它的某个素组，是该素组3个素对中的1个，而这3个素对包含且只包含3个配素）.
如（1）中，M-（m1+m2）=m3 ，M-（m1+m3）=m2.
【引理2】大奇M的任意1个素对（mx，my）之和不大于M-3，即：mx+my≤M-3.
证明：反证法.假设存在M0有1个素对（mp，mq）之和大于M0-3，即：mp+mq＞M0-3 （2）
根据【引理1】，有：M0-（mp+mq）＜3
令M0-（mp+mq）=mk，则mk＜3，与【定义2】配素m≥3矛盾.
故假设不成立，引理2得证.
【引理3】大奇M至少有1个素对(mp,mq)之和等于M-3，即：mp+mq=M-3.
证明：反证法.假设“存在大奇M0没有1个素对之和等于M0-3”， 即“存在大奇M0任意1个素对（mx，my）之和不等于M0-3”，则必有
mx+my＞M0-3 （3）
或： mx+my＜M0-3 （4）
根据【引理2】，（3）不可能；根据【引理1】，由（4）可得：
M0-（mx+my）＞3 （5）
令M0-（mx+my）=mz，则
mz＞3 （6）
同理，可得
mx＞3、my＞3 （7）
根据【定义2】配素m≥3，故（6）、（7）（即大奇M0的任意配素都大于3）错误，故假设不成立，【引理3】得证.（参见附录2）
三.证明偶数哥德巴赫猜想
贾朝华教授认为，偶数哥德巴赫猜想可以表述为：每个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和.命“每个不小于 6 的偶数”为“大偶”，即为下面的定理：
【定理1】 大偶N（N≥6）是两个奇素数之和.
证明：实际上这是引理3的必然推论.
命M是大奇，则根据【引理3】，必有
mp+mq=M-3（mp，mq是M的配素） （8）
故：
M-3=mp+mq （9）
因为M≥9，故M-3≥6，故M-3=N
故（9）即：
N=mp+mq （10）
因为（10）中mp、mq均是奇素数 ，故【定理1】得证.
故：偶数哥德巴赫猜想成立！（参见附录2）
参考文献：
（1）贾朝华：哥德巴赫猜想,10000 个科学难题( 数学卷 ),101-103,科学出版社,2009；
（2）华罗庚：数论导引，科学出版社，1979.
附录1：
弱哥德巴赫猜想（百度百科）
弱哥德巴赫猜想（又称为奇数哥德巴赫猜想）是这样一个命题：
任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和.（一个质数可以被多次使用）
2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德•贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想.
附录2：
关于大奇数（大偶数）的一些“规律”
——兼论“正文”为什么正确
大奇数是指大于或等于9的奇数，大偶数是指大于或等于6的偶数.
一、预备
【定理一】任意大偶数是两个大于或等于3的奇数之和.即：N=k1+k2（偶数N ≥ 6，自然数k≥3）
证明：设自然数n≥0，则偶数可表示为2n，令大偶数N=2n，则显然n≥3.设n= k≥3，则
N=2k （1）
故
N=k+k （2）
（一）当k=3，代入（2）得
N=3+3 （3）
故【定理一】显然成立.
（二）当 k>3，有且只有以下两种情况：
（a）k是>3的奇数，代入（2）得
N=k+k=（>3的奇数）+（>3的奇数） （4）
故【定理一】成立.
（b）k是>3的偶数，则该偶数k≥4
故k-1是≥3的奇数，k+1是≥5的奇数，代入（2）得
N=（k-1）+（k+1）
=（≥3的奇数）+（≥5的奇数） （5）
故【定理一】成立.
综上（3）、（4）、（5）所述，【定理一】得证！
【定理二】任意大奇数是3个大于或等于3的奇数之和.
显然，【定理二】是【定理一】的必然推论，证明从略.
二.若干定义
根据【定理二】有：
M=m1+m2+m3 （1）
其中M是大于7的奇数，m1，m2，m3 是大于或等于3的奇数（注意，此处【奇数】可以是奇合数，也可以是奇素数，是一般意义上的【奇数】）.根据（1）有以下定义：
【定义一】命M为“大奇数”，简称“大奇”，显然M≥9；
【定义二】m1，m2，m3 均称为M的“匹配奇数”，简称“配奇”,显然,“配奇”m≥3；
【定义三】（m1，m2，m3 ）是M的1个“配奇组”，简称“奇组”，显然1个大奇至少有一个奇组；
【定义四】M的1个奇组（m1，m2，m3 ）有且只有3个“奇对”：（m1，m2），（m1，m3 ），（m2，m3 ）.
三.若干规律
【引理一】 大奇M减去它的1个奇对之和的差等于它相应的1个配奇.
证明：根据大奇、奇组、奇对、配奇的定义可推知.（因为大奇的奇对必定归属于它的某个奇组，是该奇组3个奇对中的1个，而这3个奇对包含且只包含3个配奇）.
如（1）中，M-（m1+m2）=m3 ，M-（m1+m3）=m2.
【引理二】大奇M的任意1个奇对（mx，my）之和不大于M-3，即：mx+my≤M-3.
证明：反证法.假设存在M0有1个奇对（mp，mq）之和大于M0-3，即：mp+mq＞M0-3 （2）
则根据【引理一】有：M0 -（mp+mq）＜3 (3)
令M0 -（mp+mq）=mk，则mk＜3 (4)
显然，(4)与【定义二】“配奇”m≥3矛盾!
故假设不成立，【引理二】得证.
【引理三】 大奇M至少有1个奇对(mp，mq)之和等于M-3，即：mp+mq=M-3.
证明：反证法.假设“存在大奇M0没有1个奇对之和等于M0-3”， 即“存在大奇M0任意1个奇对（mx，my）之和不等于M0-3”，则必有
mx+my＞M0-3 （5）
或：
mx+my＜M0-3 （6）
根据【引理二】，（5）不可能；
根据【引理一】，由（6）可得：
M0 -（mx+my）＞3 （7）
令M0 -（mx+my）=mz，则：mz＞3 （8）
同理，可得
mx＞3，my＞3 （9）
显然,（8）、（9）与【定义二】“配奇”m≥3“矛盾”!
故假设不成立，【引理三】得证.
实际上，【引理三】是【定理一】的必然推论（根据【定理一】得：大偶数N=k1+k2；两边加3，左边为大奇数M=k1+k2+3，故k1+k2=M-3，【引理三】得证）！
四.讨论【主贴对偶数哥德巴赫猜想的证明】
本文相对于“正文”而言，可称为“副贴”。这里主要讨论一下作为“正文”关键、核心的“正文”中“引理3”的证明.
副贴【引理三】是【定理一】的必然推论，故必定正确！而副贴【引理三】“大奇M至少有1个奇对(mp，mq)之和等于M-3”是属于“至少有1个”类型的命题，故必定可以用“反证法”证明！由副贴【引理三】的证明过程可知：m＞3和m≥3是矛盾关系——一种特殊的“矛盾关系”！如果mx＞3、my＞3、mz＞3与【定义二】“配奇”m≥3不“矛盾”，则假设必定成立，原命题必定不成立，【引理三】必定不成立——但这怎么可能？！因为【引理三】是【定理一】的必然推论！所以：m＞3和m≥3必定是“矛盾关系”！
正文“引理3”的证明与副贴【引理三】的证明有100%的相似度，所以必定也是正确的！
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发表于 2017-2-24 13:06
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