关于逆序数的一个问题。

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/01/30 11:47am 第 2 次编辑]

“逆序数”的概念，代数中是为了确定行列式展开后各项的正负号而引进的。
因为要用它来确定行列式展开后各项的正负号，所以不能带有不确定性。
在同济版《线性代数》书中的说法：“例如 n 个大小不同的自然数，可
规定由小到大为标准次序”，用了“例如”两字，很容易给人一种误解，
似乎“由小到大”不过是其中的一种标准次序，还可以用“由大到小”或
其他排列作为标准次序，这样一来，代数中的“逆序数”就完全失去了确定
性，就不可能用来确定行列式展开后各项的正负号了。
其实，你看看其他的《线性代数》书就知道，那些书中都明确说明，代数中
用来确定行列式展开后各项正负号的“逆序数”，就是相对于由小到大的
1,2,…,n 的次序来说的，并不存在什么还可以考虑其他标准次序的问题。
当然，如果不是在代数中用来确定行列式展开后各项正负号，而是在一般
的意义上来理解“逆序”这个概念，说它是对某种标准次序的逆序，并不
限于由小到大的次序，那还是对的。所以，同济《线性代数》书中的说法，
也不能说它是错的，只是这种说法容易引起误解而已。

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luyuanhong 发表于 2011-1-28 16:25
[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/01/30 11:47am 第 2 次编辑]

“逆序数”的概念，代数中是为了确定行列 ...

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luyuanhong

如果把计算逆序数的目标，由正向的从小到大排列，改为逆向的从大到小排列，可以设想我们是

分两步操作：先计算达到正向排列所需的逆序数，再加上从正向排列转为逆向排列所需的逆序数

（当然，这样的操作会有重复，但是将重复的操作抵消后，奇偶性是不变的）。

由于行列式的行数与列数相等，所以将行的正向转为逆向所需的逆序数，与将列的正向转为逆向

所需的逆序数，正好相等。将这两个相等的逆序数相加，必定是一个偶数，所以，对行、列同时

都作了从正向转为逆向的操作后，总的奇偶性必定是不变的。

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luyuanhong 发表于 2020-8-29 09:39
如果把计算逆序数的目标，由正向的从小到大排列，改为逆向的从大到小排列，可以设想我们是

分两步操作： ...

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luyuanhong 发表于 2020-8-29 09:39
如果把计算逆序数的目标，由正向的从小到大排列，改为逆向的从大到小排列，可以设想我们是

分两步操作： ...

经过计算验证，发现标准次序不仅可以是从小到大，也可以是从大到小，甚至可以任意人为规定。
任意人为规定的标准次序，《高等代数》中的行列式定义为什么仍然适用呢？

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结论：排列的标准次序可以是从小到大，也可以是从大到小，也可以人为随意规定，只要行列式的行标和列标同时都按照这个人为规定的次序去求逆序数，则行列式的最终表达式都一样。