分享数学美 —— 卡西尼卵形

shuxuestar

发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣。

像笛卡尔卵形方程曲线一样,卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数。

严格按卡西尼方程做出平面立体形：

推导方程如下：

r1r2=C;

r1^2r2^2=C^2;

[(x+a)^2+y^2][(x-a)^2+y^2]=C^2;

x^4-2a^2x^2+y^4+2y^2x^2+2y^2a^2+a^4=C^2.

这是一个二元四次方程，显然一般解法无效...................

dodonaomiki

很喜欢，
卡西尼卵形！


也确实，第一次听说！
但贴主，如下三个地方，
能否改进、标注的更加清楚，已让人一目了然！
谢谢




个人建议，仅供参考！

shuxuestar

l1,l2是两个极径 r1，r2； l1/l2是制作方法，积是常数，商肯定不是常数。

shuxuestar

两个极径变数..............一般常用的方法肯定无法制作..............

shuxuestar

  我发现黑洞了 光也不能逃脱

dodonaomiki

;P我还是不得不说：卡西尼，真漂亮！



支持！

shuxuestar

两极径比例和是笛卡尔卵形，两极径比例积为卡西尼卵形，谁能算出两极径比例商为圆形？

Ysu2008

请教楼主，你的图是用什么软件画的？还能旋转出面。

shuxuestar

卡西尼方程可以方便一些得出值。

从前式：x^4-2a^2x^2+y^4+2y^2x^2+2y^2a^2+a^4-C^2=0；

令x^2为v， y^2为w；

v^2-2a^2v+w^2+2vw+2a^2w+a^4-C^2=0；

shuxuestar

w^2+w（2v+2a^2）+（v^2-2a^2v+a^4-C^2）=0；

解w=
-2v-2a^2±√[4(v+a^2)^2-4（v^2-2a^2v+a^4-C^2）]
-----------------------------------------------------------------------------------;
                                     2

代入x；y得：

y=

  √{-2x^2-2a^2±√[4(x^2+a^2)^2-4（x^4-2a^2x^2+a^4-C^2）]}
±-----------------------------------------------------------------------------------;
                                     √2